Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

§ 77]

П Р И М ЕН ЕН И Е

ФОРМУЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВАН И Я

185

Р е ш е н и е .

Данная

функция

степенная; основанием

степени

служит

выражение Jt3—

Ах

+ 1, зависящее от

х.

Поэтому

функцию,

подлежащую

дифференцированию,

можно

рассматривать

как

сложную

функцию.

т

При­

меняя

правило

(VII)

при

и =

х

3—

Ах

+ 1

и

= 3,

получим:

-

Ах

+ I)3];

=

3(х3- А х +

2

(х3 - А х +

1

)' =

Iі'х

3

= [(JC

== 3 (х

3

— 4* +

I)2

2

П р и м е р

7.

1) (3х — 4).

Продифференцировать

функцию

Р е ш е н и е .

у =

/2;e

2

-

3* +

4.

х,

Подкоренное

выражение — функция

поэтому

у

— сложная

функция.

Согласно

правилу

(V III),

полагая

и — 2х2

—

Зх

+

4, имеем:

— 3 + 4

(2х2 -

Зх

4)'

4х

у' = (]/2х2- З х - { - А)'х

2

/ 2 х 2- З

+ + 4 ~

’

х

2 f 2 x 2- 3 x

(fF+7

У х

=

j ( x 2+ if]l )

=

2х —

If2х^

) 2

1)' =

=

[ ( * 2 +

у

(X2 +

(X2 +

(здесь

и

=

л

+

1

).

Упражнения

I

:2

Найти производные функций:

/ З . у

— хъ.

. f ( x ) =

xp^

" 1 . 0 = 3.

2 .f(x ) — ax.

4

*5.

у

=

5л:3.

[

-

6.

s =

—374.

7.

f (л:) =

у

ял:8.

8 . М *) =

п +

* п+». ~

9-

0 =

2 л: 3

— Зл:.'

1 0

. s = у 7 4 — у

/ 2 +

27.

11.

f (х) = — g- л: 3

+ у л: 2

— 2л: +

1. Найти f

(3).

67=

дт (jf +

1).

12.

Ң х ) = Лл— р Т * 2" * 1“

2/Г*2"

а І3-

186

ФОРМУЛЫ* Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIП

14.

s =

t2

1 -

2).

(\Q f

(л) =

2л (Зл2 -

* +

5). Найти

f'

( -2 )

(3

2).

16.

s = t ( t +

\)(t +

^ V

____

17.

/ (и) =

(2ц2•+

u) (4u2

1).

у

v

u2

-

»18. s =

2 V ^ .

=

—

X 2

.

20.

s =

rV7~.

*21.

=

V

й .

22.

ü = - ^ r .

23. f ( r ) = - ^ - .

Найти

}'(—2).

Cj 24.

у

==

r *----

P'

‘ 25.

3

Найти

(8).

«26.

(o) =

V”

'27.

У —

Y J

f (и) =

n

f

f

у X2

~j~ ~ '

^ J L

4 =

. y=xV Vх-

^29. s

VT

■>30. «

/ф I Ф

28

btYt

6

4

}

_

31.

33. s =

Уф

у

ъ Г З Т * * ^ '

ы - у = ‘ ( Ѵ і + і ) .

t 2 -

1 + 1

p

y-

2x2

+ Зл +

1

Зл2 —

2x

34.

35.

y =

— 4

36.

(/ =

f

2

1

1.

37.

(H) :

x +

1

38. / (o) =

2 л --

39.

y-

2 —

X ’

X

1

V2

X

1 + 2 л

u +

1

1

x)

40.

) .

’

41.

l++Vx

(1 +

f (x

У

\ —

X 2

X

х

'

I — VX

функции

42. При каких значениях

производная

равна

1) 0, 2) 3?

у

=

х ь

— 2л2 — 4л — 5

43. Написать уравнения укасательной

и нормали к кривой

=

1 -

2л2

46.

В какой точке кривой

у =

у

2х2

— л + 1

надо провести каса­

тельную, чтобы она была параллельна прямой

у —

Зл

5?

47.

Точка, двигаясь по кривой

=

л2 — 8л +

15, сорвалась с нее

в тот

момент, когда оказалась на

прямой л =

6. Найти

уравнение

§77]

- П Р И М Е Н Е Н И Е

Ф ОРМ УЛ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

187

50.

В

уравнении

параболы

у =

х2

+

Ьх

+

с

опредёлить

&х и

с,

у — х

если парабола касается

прямой

в

точке

с абсциссой

— 2.

за

t

51.

Количество электричества,

протекшее

через

проводник

секунд,

определяется

по

формуле

Q — 2Р

+

3/

1 (кулонов).

Найти силу тока в конце пятой секунды.

—

V t .

Найти

52.

Точка движется прямолинейно по закону 5 =

ее скорость в момент

t

=

2,25.

уравнением

S =

t

At

-f- 20. В ка­

53.

Движение точки задано

2—

кой момент времени скорость точки будет равна нулю?

54.

Движение точки задано уравнением

S =

-i./4 — 4/3+

16/2.

4

закону S =

1 + / + Д,

где 5

выражено в сантиметрах, a

t — в

се­

кундах. Найти кинетическую

энергию

j

тела через

5

секунд

после начала движения.

t2

3t

58. Угол поворота шкива в зависимости от времени опреде­

ляется из равенства ф =

+

— 5. Найти:

t

і

1) среднюю угловую скорость в

промежутке

времени

от

=

3

до

= 5, 2)

угловую скорость в момент времени

t —

5.

угла ф

59. Тело

вращается

вокруг оси, причемзакон

изменения

в

зависимости от времени

t

задан

равенством

Ф = 0,1/2.

Найти

угловую скорость вращения тела в момент

t =

5.

t

60. Угол ф, на который

поворачивается колесо через

секунд,

определяется из равенстваФ

=

at2 — Ы

+

с,