Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 345

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

190

Ф ОРМ УЛЫ Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIII

Для нахождения ее производной можно применить об щее правило, однако проще поступить следующим об разом.

По формуле приведения напишем

Отсюда	у — cos и = sin ( у — иj .
Отсюда	у'х =	(cos и)'х — [sin (у	- и)		(2)
В правой	части	равенства (2)	имеем	sin	—

сложную функцию. Применяя формулу (X) для ее диф ференцирования, найдем

[s in ( I -

в ) ] ' -

cos

( I -

и) ( f

- в ) '

Таким образом,

- c o s

( f -

и)(0

- » ; ) = -sm и •их .

(cos

и)'

—sin

и - и'

(XI)

При

и =

формула

(XI)

примет вид

III.

(cos

х)' =

—sin

(ХГ)

Дана функция

где

и = f.

(х).

Представим tg

y =

igu,

в виде частного

___ sin и

Уcos и

иприменим правило (VI) для его дифференцирования. Получим

,( sin и У cos и (sin и)' — sin и (cos и)'

Но	Ух \ COS и )х	cos2 и
Но	(sin и)' — cos и • и'х	[правило (X)],

(cos и)' — —isin и. и'х [правило (XI)],

§ 78]	П Р О И ЗВ О Д Н Ы Е Т Р И ГО Н О М ЕТ Р И Ч ЕС К И Х Ф УН К Ц И Й	191
		191

поэтому

,cos и cos и - и' — sin и ( — sin и) и'

у'

= ----------------

----5----5---------- — =

(cos2

sin2

cos2

1і'х

Итак,

и) и'х

cos2

COS'1 и

Если и — х,

то

( tg

ху -

COS^

IV . Дана

функция

и,

где

u =

f [х).

= C tg

Как в предыдущемУслучае, напишем

cos и

C tg

—: .

Sin

(XII)

(ХІГ)

Применяя правила (VI), (X) и (XI), получим

___/ cos

_ _

sin

(cos

и)'

— cos

(sin

и)'

У*

и\7

\ sinи

}х

и) их

sin2

и • и'

sin

( — sin

— cos

cos

(sin2

cos2

и) их

sin*

sin2

В случае и =

( c t g

и)'х =

имеем

х)'

• sirr

П р и м е р

(ctg

функцию

1. Продифференцировать

(XIII)

(XII Г)

y = c o s ( l + i . ) .	,
Р е ш е н и е . Согласно правилу (XI), при и = 1 +	,
найдем
Й = [с6з(і + ! ) ] ' = - s in ( l + i ) ( l + 1 ) ' .

192

ФОРМ УЛЫ

Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО В А Н И Я

[ГЛ. VIИ

По правилам (III) и (IX*) (і +

= О —

= —“ Г > по-

этому искомая

производная

)

^ rs in (l

i/; = -

Sin (l +

) ( - ^

П р и м е р

2 Y X .

функцию

Продифференцировать

Р е ш е н и е .

sin

данную функцию

в виде

Перепишем

Мы видим,, что

i/ =

(sin

У х

от « =

sin]/A-.

у — степенная функция

Ее производную найдем по правилу (VII):

у'х

[(sin

У х

)2]' =

sin

У х

(sin

У х )'.

от

У х .

По

Но sin]/*. — тригонометрическая

функция

правилу (X) (при

и =

У х )

найдем

(sin У х ) ' — cos ]/дГ ( У 'х)'.

Наконец, по		правилу (VIIГ)					имеем			sin 2 VT
Следовательно,				( І ^ У		_ J ____			■	sin 2 VT
							2ѵт
				У Т		У X		К=
у'	=	2	sin	У Т	cos .		----				VT ’
				ѵ			гѴ х			2

Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующей цепочкой равенств:

у'х — (sin2 У'х)' = 2 sin У х (sin У х)' =

=2 sin У х cos У х { У х ) ' =

п ■

і/—

тГ~

sin 2VX

sin

у х

cos У

—

,— .

Упражнения

Найти производные функций:

v — secu.

X —

sin

s =

2. 0 =

(pcos(p.

(/) =

sin

cos

(x) =

— ctg

= tg Ѳ — Ѳ.

5. /а

f (Ѳ) =

Ѳ = Ф +

ctg ф.

(1 — cos /).

9 .

(1- + cos Ѳ) sin 0.

§ 79]	П РО И ЗВ О Д Н АЯ Л О ГА РИ Ф М И Ч ЕС К О Й Ф УН КЦ И И	193

10.

и:

1 —

COS t

И. МѲ)'

+ tg9

12.

у =

Y sin2 .t.

13.

V —

1 +

cos / '

tg Ѳ

---- cos4co.2

14.2

(<p)=— ctg5 ф. Найти

IS. /(<p)=sin2ep,

16.

17.

= sin

я x j\.

18.

(со) = -

a cos ( 5 - / ).

C O S CD

C^.19. s — cos (1 — 2ф).

20. /s

(co)= —= V

tgt.co2.

21.

t =

у2sin(<p2 —Vicф)..

22.

) (0) = sin УІГ.

23.

cos

24.

4 tg 2

n 25.

(/ =

27. s = sin 4 - .

26.

cos — .

1 sin

30.

” 28.

у =

-r- sec2 co.

29. у =

V sec X.

у — sin3 X cos X.

31.

f (/) = 2 sin 2/ cos2 f.

32. / (Ѳ) = 2 sin2 Ѳ cos2 Ѳ.

y — c o s x

Ax.

lj 83.

— g-cos3*.

Д34.

y — — x

----- — sin

sin

3 5 . у

s i n (x

a) c o s (x - a).

3 6 . y =

V C°S* .

3 7 .

3 8 .

г/ = - i - c o s 2

з і п 2 2 ф .

3 9 . s =

s in 2 ф .

^ . 4 0 .

t/ =

7 j - t g

3 - i - .

^ - 4 1 .

i/ =

]

s i n

2x.

4 2 .

= =

V s i n 2 2co.

43.

r =

1 .

, со

л: +

lg 3 * +

— tg3—---- tg —

44.

у = ~

tgs

tg X.

‘ s

Jtt

45.

Точка движется

прямолинейно по закону S =

. Найти:

а cos —

1)скорость движения точки для любого момента времени,

2)при каких значениях t скорость точки равна нулю,

3) путь точки за время 1 — 0; 2; 4; 6.

§ 79. Производная логарифмической функции. Дана функция

Для ее

у =

ln и,

где

u = f (X).

по общему пра

дифференцирования

поступим

вилу.

Ау —

(и

Аи).

й шаг:

{и

Аи)

и,

Ау+= (у

= 1п

— In

й шаг:

+ Ау) —

или

Ау =

——

- ==

ln ^

Ч—~-) •

3-й шаг: і\х

ln ( ' + ¥ )

У_

Д*

7 И. Л. Зайцев

Смотрите также файлы

Массовых коммуникаций российской федерации ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образов.docx

Сынып 7.docx

Вы зашли под именем Алиева Виктория Николаевна (Выход) анпоо "нспк".pdf

Учебнометодическое пособие по курсовому проектированию А. Н. Губин спбгут. СанктПетербург, 2021. 30 с. Содержит рекомендации по выполнению курсового проектиро вания при изучении дисциплины Проектная оценка надежности ин формационных систем.pdf

Понятие мошенничества. Предпосылки, причины и условия возникновения.docx

Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно