Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 334
Скачиваний: 10
Г Л А В А X
ДИФ ФЕРЕНЦИАЛ
§ 97. Сравнение бесконечно малых величин между со бой. Понятие о дифференциале. I. В § 44 мы рассмот рели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно
малой величиной, |
но и |
бесконечно большой и |
ко |
|||||
нечной. |
2 |
|
2 |
пусть, например, |
а — бесконечно |
ма |
||
В |
самом |
деле, |
|
|||||
лая, |
тогда |
а |
и |
|
а будут |
также |
бесконечно малыми. |
|
При делении их друг на друга возможны следующие случаи:
|
1) отношение — = |
а - - бесконечно малая |
величина, |
|||||||||||
|
2 |
)' |
отношение Д -= = -— |
бесконечно |
большая |
вели- |
||||||||
чина,7 |
|
|
а. |
а |
— конечная |
величина. |
|
|
|
|||||
|
|
а |
2 |
|
|
|
||||||||
|
3) отношение— = |
|
|
|
ма |
|||||||||
Первое |
отношение |
показывает, |
что |
бесконечно |
||||||||||
лая |
|
а |
2 |
составляет ничтожно малую |
часть от |
а |
и, |
сле |
||||||
довательно, |
стремится |
|
к |
нулю |
значительно |
быстрее, |
||||||||
чем |
|
а. |
|
|
отношение |
указывает |
на |
то, |
что а, |
неогра |
||||
|
Второе |
|||||||||||||
ниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем а 2, т. е. стремится к нулю медленнее величины а 2.
238 |
|
|
|
|
|
|
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л |
|
|
[ГЛ. X |
||||
Сказанное можно иллюстрировать следующей табли |
||||||||||||||
цей: |
1 |
0 .1 |
|
0 ,0 1 |
0 , 0 0 1 |
|
|
0 , 0 0 0 1 |
. . . - > 0 |
|||||
а |
|
|
|
|
||||||||||
а 2 |
1 |
0 ,0 1 |
|
0 ,0 0 0 1 |
0 , 0 0 0 0 0 1 |
|
0 ,0 0 0 0 0 0 0 1 |
. . . - > 0 |
||||||
а |
2 |
I |
0 ,1 |
|
0 ,0 1 |
0 ,0 0 1 |
|
|
0 ,0 0 0 1 |
. . . ^ - 0 |
||||
а |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
1 |
|
10 |
|
1 0 0 |
|
1 0 0 0 |
|
|
1 0 0 0 0 |
. , . —> о о |
||
а |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Принято бесконечно |
малую а |
2 |
|
|
а |
||||||||
|
|
по отношениюпорядка.к |
||||||||||||
называть |
бесконечно |
малой |
высшего |
порядка |
||||||||||
|
малой |
низшего , а а по |
||||||||||||
отношению к |
а |
2 |
— бесконечно |
|
|
|||||||||
|
Что касается третьего отношения, то из него сле |
|||||||||||||
дует, что |
бесконечно |
малые |
2 |
а и |
|
а |
стремятся к нулю |
|||||||
с одинаковойа |
скоростью, так как при их изменении от |
|||||||||||||
ношение |
— |
остается |
постоянным. |
Такие |
бесконечно |
|||||||||
малые |
имеют, |
как |
говорят, |
|
одинаковый порядок ма |
|||||||||
|
|
|
|
|
бесконечно |
|||||||||
лости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
•Таким образом, частное от деления двух |
|||||||||||||
малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вы числениях, где отбрасывание бесконечно малых выс шего порядка приводит к значительному упрощению
вычислений. |
|
1. |
Сравнить |
порядок |
малости х |
|
+ |
х |
|
и |
|||||||||||
|
П р и м е р |
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||
X, |
если |
X — |
>0. |
|
|
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р е ш е н и е .х |
|
|
X2) |
= |
0 -f 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Нт |
|
|
* = |
lim ('jc -f- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
х - > 0 |
|
|
Х |
Х -> 0 |
|
|
|
|
|
х2-\-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
бесконечно |
|
малая |
г — высшего |
|||||||||||||||||
порядка, -чем* 0 . |
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх-\-х3 |
|
|||||||||
|
РПершихемнеире . |
2. |
Сравнить |
порядок |
малости |
и |
|||||||||||||||
X, |
если |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 + 0 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- х |
X х- — х |
|
|
X2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
- |
lim (3 -f- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
*->о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ Щ |
С Р А В Н Е Н И Е Б ЕС К О Н ЕЧ Н О М АЛЫ Х В ЕЛ И Ч И Н |
239 |
|
Как видно, бесконечно малые Зх-}-х3 и х имеют оди
наковый порядок малости. |
|
|
|
малости |
]/х |
и |
х, |
||||||||||
П р и м0е р |
3. |
|
Сравнить порядок |
|
|||||||||||||
если л: —»- . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
|
— |
Нт |
VX ■ Ух |
— lim |
|
—~ o o . |
|
|
|
||||||
*lim- |
А |
|
|
|
хѴхі |
|
|
Ух |
|
|
|
|
|||||
»■ 0 |
|
|
x - > 0 |
|
|
|
|
* - » 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак,2tg2x, бесконечно |
малая |
]/х |
— низшего порядка, |
чем |
х. |
||||||||||||
П р и м е р |
4. |
|
Сравнить порядок |
|
малости |
3sin3x и |
|||||||||||
если х - > |
0 |
. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
х В |
§ |
|
49 |
|
было |
показано, что sinx |
и tgx |
|||||||||
эквивалентны |
|
при |
х - > , а |
потому |
|
sinx и t gx можно |
|||||||||||
заменить на х. Приняв это во внимание, найдем: |
|
||||||||||||||||
3sin3 |
|
|
А |
- » |
0 |
|
|
|
, . |
З 3 |
|
1 - 3 |
|
— |
п |
|
|
|
X |
|
|
|
|
3 ( s i n А ')3 |
|
х -> 0 |
-2^аXг- |
— х - ^ 0 г |
|
|
|
||||
lim 2 tg2 л |
|
lim |
|
2 (tg х)2 |
|
lim |
|
|
lim |
X |
|
0. |
|
||||
*->о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что бесконечно малая 3sin3x более вы
сокого порядка |
малости, чем |
2 |
tg |
2 |
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П р и м е р |
5. |
Показать, |
что |
|
|
при |
х —>-0 |
бесконечно |
||||||||||||
малые |
2 |
tg2x + 3 sin3x и х |
2 |
имеют |
одинаковый |
порядок |
||||||||||||||
малости. |
|
Зная, что |
при х —>0 |
tgx |
и sinx |
эквива |
||||||||||||||
Р е ш е н и е . |
||||||||||||||||||||
лентны X , найдем: |
lim ------^— |
= |
!im |
( 2 |
+ |
Зх) = |
2 |
+ |
0 |
= |
2 |
. |
||||||||
lim —----------------= |
|
|
|
|
||||||||||||||||
А - » 0 |
|
х |
|
х->0 |
х |
|
|
|
|
Х - + 0 |
|
2t g2x + |
3sin3x |
|
и |
|||||
Таким |
образом, |
бесконечно |
|
малые |
|
|||||||||||||||
X 2 — одинакового порядка малости.
Решение данного примера можно немного упро стить, если отбросить 3sin3x как бесконечно малую
более |
высокого порядка, |
чем |
|
tg2x (см.. |
пример 4): |
||||
|
-0 |
2 tg2 |
А |
А - |
|
> 0А 2 |
|
|
|
|
lim |
|
Пт |
2 |
а 2 |
2 |
|
||
|
А-Э |
А 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Результат получился тот же. |
|
|
|
|
|
||||
II. |
Возьмем функцию |
у = |
х2; ее приращение |
||||||
|
l x y = 2 x k x + |
{l±xY |
|
|
[(3) § 55]. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
240 |
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л |
[ГЛ. X |
|
Множитель при Ах есть производная данной функ ции, а потому последнее равенство можно переписать так:
А у = і/ Ах + (Ах)2. |
(1) |
Сравним изменение величины обоих слагаемых пра вой части равенства (1) с уменьшением Ах. Положив, например, х = 2 и, следовательно, у' — 4, составим сле дующую таблицу значений этих слагаемых:
Ах |
1 |
0 .1 |
0 ,0 1 |
0 , 0 0 1 |
у'Ах |
4 |
0 . 4 |
0 , 0 4 |
0 , 0 0 4 |
( Д * ) ! |
1 |
0 ,0 1 |
0 , 0 0 0 1 |
0 , 0 0 0 0 0 1 |
Как видно из таблицы, слагаемые у'Ах и (Ах)3 уменьшаются с уменьшением Ах, причем первое — про порционально Ах, второе же значительно быстрее.
Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).
Пусть дана функция y = f(x). Ее производная
|
|
|
|
y' — |
lim |
М . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно |
|
|
Д х-J-O |
|
|
|
переменной |
|
|
|
|
|||
|
определению |
предела |
|
|
(§ 43) |
|||||||||
имеем: |
|
|
У_ |
у' + |
а, |
|
|
|
|
|||||
|
|
6х = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а — бесконечно малая |
величина при |
А х — |
|
|
|
|
||||||||
► О. Отсюда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ах |
|
|
|
|
|
y' |
(2) |
||
. И здесь |
|
|
Ау = у'Ах-\-а Ах. |
слагаемоеа Ах |
|
|
||||||||
при уменьшении- |
|
первое |
|
Ах |
||||||||||
уменьшается |
|
пропорционально |
Ах, |
второе же слагаемое |
||||||||||
а Ах |
уменьшается |
быстрее, так |
как |
отношение |
|
|
= |
|||||||
— -^т — бесконечно |
малая |
величина |
при |
у' ф 0 |
, т. е. по |
|||||||||
У |
|
к |
|
величина |
|
|
— бесконечно |
малая |
||||||
отношению |
у'Ах |
ос |
Ах |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||