Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 335

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 37]

 

 

С Р А В Н Е Н И Е

БЕС К О Н ЕЧ Н О МАЛЫХ В ЕЛ И Ч И Н

 

 

 

241

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у'Ах

 

 

 

 

высшего порядка. ПоэтомуГлавнаявыражениечасть у'Ах приращенияназывают

 

главной частью приращения

 

 

 

 

 

 

 

y =

f(x).

 

 

 

 

функции у

 

f(x)

 

называетсяфункции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

 

 

 

дифференциалом функции.

 

 

 

 

 

=

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

y =

f(х)

 

принято

обозна­

 

Дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чать символом

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал

 

 

dy

=

у' Ах.

 

принимают

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

аргумента

 

 

равным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дат, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приращению аргумента dx = Ах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем

 

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y = y ' d x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциал

функции

 

равен

 

произведению

про­

 

т. е.

 

 

 

(4)

 

изводной функции на дифференциал .аргумента.

 

 

 

 

Из формулы

(4)

следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

циалуРавенствоаргумента.(5) показывает, что

производная функции

 

есть отношение

дифференциала

функции

к

дифферен­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

этом основании производную функ-

 

ции часто выражают в виде

 

dy

 

и

 

 

читают: «дэ игрек

 

по дэ

икс».

Заменив

в

равенстве

(2)

 

у'Ах

символом

 

dy,

на­

III.

 

 

 

 

 

 

 

пишем:

 

 

 

 

 

 

Ay — dy +

aAx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

Как

 

было

показано

выше,

 

а Ах

— бесконечно

 

 

( )

 

 

 

 

 

малая

 

высшего

порядка по отношению

к

у'Ах — dy,

а потому,

 

отбросив

в

равенстве

6

 

 

 

 

 

 

 

а

Ах,

получим:

 

 

 

( )У слагаемое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

«

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

В

 

практических

 

 

 

часто

 

используют

 

 

 

 

вопросах

 

 

форму­

 

лу (7),

т. е.

берут

дифференциал

 

функции

вместо

ее

 

приращения,

делая при

этом

незначительную

ошибку

 

и тем меньшую, чем меньше

Ах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

242

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

[ГЛ. X

 

Пр и м е ч а л

=dy. В самом ние будет:

и е. В случае линейной функции Ау = деле, для функции y = kx-\-b прираще­

Ау

=

k (х

+ Ах) +

b —

(kx Ь) —

 

b

 

kx

 

b = k

 

 

 

 

—+kx

-f

k Ах

+

—

—

Ал-.

 

Множитель

k

есть

 

 

 

 

 

 

 

производная

 

линейной

функции;

поэтому правая часть последнего равенства выражает

дифференциал данной функции, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

k Ах

---

dy.

 

 

 

Итак, в случае линейной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

А

У

=

dy.

 

 

 

 

1. Показать, что

при

х

Упражнения

 

 

х;

 

 

- >0

 

 

 

 

 

 

а) 5.V3 — бесконечно

малая

величина высшего

порядка,

чем

х;

б)

Зл:

»

»

 

»

 

 

одинакового

»

с

х.

в)

У X 2

»

»

 

»

 

 

 

низшего

»,

чем

 

 

 

 

 

 

 

2.Показать, что при л -> 0 2х3+ 4х — бесконечно малая ве­ личина одинакового порядка с х.

3.Показать, что при х -> 0 2лг3 + 4,ѵ2 — бесконечно малая ве­ личина высшего порядка, чем х.

4.Показать, что при х -> 0

а) 2 sin

X

— бесконечно

 

малая

величина

одинакового

порядка с

х\

б)

sin2

X

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

»

 

 

 

»

2х

высшего

»,

 

чем

х\

в)

tgf

Зх

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

»

 

 

 

»

 

одинакового

»

 

 

с

х.

 

5. Сравнить порядок малости sin

+ tg

Зх

 

и

х

при х -> 0 .

 

 

а)

6. Сравнить

порядок малости:

 

г)

tg3

 

и

 

 

 

 

 

если

 

—> 0;

I — cos

X

и

X,

если

 

х ->

0;

 

 

 

X

 

X s,

 

 

X

б)

1 — cos

X

и

X

2,

 

»

 

 

X —>

0;

 

 

 

д)

1— cos

2х

 

и х , »

 

X

-> 0.

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

V

1 — cos

X

X,

»

 

 

X ->

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

7. Сравнить порядокх малости:

г) cos 2л: и ctg

2х,

если

 

 

 

JT

1 —X

 

 

и

1 —

X 2,

если

->

I;

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

X

и

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

д) cos2 X

 

и

sin 2х,

»

X -> -2-,

cosX

 

 

sin 2дг,

X.

 

 

X —>

 

 

в)

sin

 

 

 

и

 

 

1— cos

 

 

»

 

л->-0;

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Показать, что tg л — sinx

и

— бесконечно

 

 

малые величины

одинакового

порядка,

если

х

-> 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 98. Геометрическое изображение дифференциала.

Возьмем функцию y = f{x), график которой изображен на.рис. 111. Пусть абсцисса точки М

ОР — х ;

§ 9S] ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е И ЗО Б Р А Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А 243

тогда ордината ее

х

PM — y — f (х).

 

 

 

 

Дадим

аргументуMQ\\Ox.

приращение

РР\ = dx

и

восставим

 

 

Ох,

в точке

Р 1

перпендикуляр

Р\МХ

к оси

а из точки

М

проведем

 

Тогда, как известно

(§ 56),

 

 

QM, = Ау.

Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты

точки М, движущейся по касательной, называется при­ ращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника MNQ имеем:

QN = MQtg Z. NMQ.

Но

MQ = РР\ = dx,

а вспомнив геометрический смысл производной (§ 6 6 ), запишем:

Поэтому

tg Z

NMQ =

tg а — y'.

 

 

97)

QN - tf dx.

 

 

Согласно (4) (§

y' dx =

dy,

 

 

следовательно,

 

QN =

dy.

 

 

Таким образом,

если

в точке Л4 кривой

y — f(x

) прове­

сти касательную, то

дифференциал функции

y — f(x)

 

 

 

 

244

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

ІГЛ. X

 

в этой точке изобразится приращением ординаты каса­ тельной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.

- Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 1 1 1 ), так и больше (рис. 1 1 2 ).

dy

§ 99. Дифференциал второго порядка. Дифференциал

функции

у =

\{х),

называемый

первым дифферен­

циалом

или

дифференциалом первого

порядка,

 

 

 

 

 

х,

 

 

 

 

вторымпред­

дифференциаломставляет собой также дифференциаломфункцию а потомувторогои

порядка.от него

можно найти дифференциал, который называют

 

 

 

 

 

или

d(dy)

 

 

d2y

 

 

 

В этом

случае

пишут

или короче

и

 

читают:

«дэ два

игрек».

 

дифференциала второго

 

порядка

 

Найдем выражениеX

 

от функции через ее производную. Для этого продиффе­

ренцируем по

 

равенство

 

 

 

 

 

 

dy — tf dx,

считая dx постоянным множителем (так как dx не за­ висит от X):

d2y = d (у' dx) = d (у') dx.

d {у') — у')' dx — у" dx.

 

Но согласно формуле (4) § 97

 

Поэтому

(

О)

d2y =

у" dx •dx — у" dx2,

т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциа­ ла аргумента.

Из равенства (1) следует

Это дает основание для выражения второй производ­ ной функции в виде отношения которое читают так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат».

§ 100]

П Р И Л О Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А

245

 

§ 100. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Рассмотрим несколько примеров использо­

вания

дифференциала

в

приближенных вычислениях,

а) Н а х о ж д е н и е п р и р а щ е н и я ф у н к ц и и .

П р и м е р

1

. Найти

приближенно приращение функ­

ции

у — 2х2

-)- 3 при

X —

2 и

Ах

= 0,001.

Р е ш е н и е .

 

Так как

 

 

приращение аргумента — вели­

чина малая, то согласно формуле (7) § 97 можем при­ ращение функции заменить ее дифференциалом.

Дифференциал же данной функции

 

 

 

 

dy

=

(2х2

+ 3)'

dx — Ах dx.

(

1

)

Заменив

в равенстве (1)

х

и

dx

их значениями,

по­

лучим:

dy =

4 • 2 •0,001 = 0,00 8 .

 

 

 

Следовательно,

Ау я* 0,008.

Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря диффе­ ренциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции (см. пример 1, § 55):

Ау = 4х кх 4- 2 (Ах) 2 =

=4 • 2 ■ 0,001 + 2 (0,001) 2 = 0,008 4 0,000002 = 0,008002.

Сравнивая полученное точное значение Ау с приближен­ ным, видим, что допущенная ошибка равна 0 ,0 0 0 0 0 2 . Выражая ее в процентах, найдем:

 

0,000002

0,00025

= 0,025%.

 

 

 

0,008002

 

 

 

 

см. см

 

 

Ошибка оказалась очень малой.

R

=

был

нагрет,

П р и м е р

2. Шар

радиуса

 

20

отчего радиус его удлинился на 0,01

Насколько уве­

личился при этом объем шара?

 

 

 

по

формуле

Р е ш е н и е .

Объем

шара

определяется

 

 

V —

JT/?3.

 

 

 

 

Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение ѵ, т. е. V есть функция от R. Следовательно, наша задача

Смотрите также файлы