Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 333

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

24R

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. X

сводится к определению(AR = dRприращения= Qfil),

функции

ѵ

при за­

данном приращении

аргумента

R.

Так

как

приращение

аргумента

мало

заменить ее

 

то

мы

можем

при­

ращение

функции

дифференциалом

[(7)

§ 97].

 

 

 

 

ѵ:

 

 

 

 

 

Находим дифференциал функции

 

 

 

 

 

 

Но

Поэтому

d v = j nt- 3 R 2 dR =

4я/ ? 2 dR.

R =

20•

и•

rfi? =

0,01.

 

d v = 4л 20

0,01

=

16л см3.

 

 

2

 

 

 

б)

Н а х о ж д е н и е

 

 

 

 

ч и с л о в о г о

 

 

з н а ч е н и я

ф у н к ц и и .

 

Пусть требуется

 

найти приближенное

зна­

чение функции

 

 

/(*) = 2х

2

+

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при *і =

2

,

0 0 1

 

 

 

 

 

 

2

,

0 0 1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

, т. е. найти

величину /(

 

 

 

 

 

 

 

Представим

 

 

в виде суммы

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

0 , 0 0 1

 

будем

 

*] =

2

+

0

 

,

0 0 1

 

 

приращение

аргу­

 

 

рассматривать

как

 

мента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формулы для приращения функции

 

 

 

 

 

найдем:

 

 

 

 

 

 

 

A y = f { x +

 

Ах) — f{x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

f(x +

 

 

Ax) =

 

f(x) +

 

Ay.

 

 

А

у

заменить

 

Полагаяdy\

 

 

малой

 

 

величиной,

 

можем

 

 

' величиной

 

 

 

 

 

тогда

последнее

равенство

перепишется

в виде

 

 

 

 

 

 

 

f(x +

 

 

A x ) ~ f ( x ) +

 

dy.

 

 

 

 

 

(2)

 

Применив равенство (2) к данному примеру, можем

написать:

 

 

 

 

 

 

/ ( 2

+

0

 

,

0 0 1

 

 

 

 

 

 

2

) +

dy.

 

 

 

 

 

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) *« /(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy — 4х dx

=

4 • 2 • 0,001 =

 

0,008,

 

 

 

Поэтому/ (

 

 

 

 

 

 

 

/(2) =

 

2 • 2

2

+

 

 

3 =

 

11.

 

 

 

 

 

 

+

 

 

,

 

 

 

) = / (

 

 

,

 

 

) я*

 

 

 

 

+

 

0,008 =

 

11,008.

 

 

2

 

0

0 0 1

2

0 0 1

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 100]

П Р И Л О Ж ЕН И Е Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л А

2 4 7

Равенство (2) может служить формулой для прибли­

женного вычисления значения функции.

 

в)

В ы ч и с л е н и е по п р и б л и ж е н н ы м ф о р ­

м у л а м .

Пользуясь формулой (2),

выведем прибли­

женные

формулы для вычисления

некоторых

выра­

жений.

 

 

 

1) Возьмем функцию

Г/ = sin JC

и положим, что угол малое приращение а. в ней X = 0 и dx = а.

X, равный нулю, получает весьма Применим формулу (2), полагая Получим:

Но

f ( 0 +

а)

/ (0 ) + dy.

dy —- (sin х)' dx =

cos X ■ dx — cos 0 • а = а

и

/(0 ) = sin 0 = 0 .

Поэтому

f (0 —(—а)

0 -f- а,

или

sin а « а .

Отсюда следует, что синус очень малого угла при­ ближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 да 0,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:

а

 

 

180°-0,003

0,17° ~ КГ,

 

 

 

 

 

 

3,14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 10' ~у0,003.

 

 

 

 

х,

 

2)1

Возьмем&х — а.функцию

=

хп

и положим, что

рав­

ный

, получает весьма малое по сравнению с единицей

приращение

 

 

 

Тогда

согласно формуле (2) имеем:

Но

 

 

/

(1

+

а) г» f (

1

) +

dy.

 

 

 

 

(лЛ/

 

 

 

 

л_|

 

 

 

dy —

dx =

пхп~ ] dx = n • 1

• а — па

 

 

 

 

 

 

f(l) =

r =

 

l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248

 

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ. X

Поэтому

 

f (1

"Ь о) ^

1 +

 

tia,

(3)

или

 

(1 “(- сх)” «ä

1

 

 

па.

Точно так же можно

 

вывести равенство

 

 

 

(1

—

а)п

я*

1

—

па.

(4)

По формулам (3) и (4) молено быстро найти при-

ближенную степень числа,) 2

близкого к единице; например:

1,0152 =

(1 +

O.OIS) 3

«

1 +

2 •0,015 =

1,03,

0,9883 =

(1 -

0,012

~

1 -

 

3 • 0,012 =

0,964.

3)Выведем формулу для приближенного вычисления

П_______

выражения

У

1 4- а,

 

где

а

имеет

малое значение по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

_______

сравнению

с единицей.

Для

этого

представим

У

1-|- а

в виде степени

 

У і

 

 

 

(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

_________

 

 

 

+

 

_і_

 

 

Но по формуле

(3) 1

 

+

а =

 

 

а)" .

 

 

 

+ o F

*

 

1

+

4

-а.

 

 

или

 

 

(

 

 

 

4

 

(5)

 

 

У

 

і +

а

«

1 +

а-

 

Аналогично

выводится

формула

 

 

 

(6 )

 

 

 

Ѵ г = ^ Г ~ 1 - 4 а.

 

По формулам (5) и (6 ) можно легко найти прибли­ женное значение корня из числа, близкого к единице; например:

У ІД )3 =

/ 1

+ 0,03 «

1 - ф у

• 0 ,0 3 =

1,015,

0Д64 =

f 1 -

0,036 «

1 — у

• 0,036 -

- 0,988.

§ m il

к р и в и з н а к р и в о й

249

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

Найтиу = хпервыйѴ х . 2.дифференциалs \ .

функции:

 

4.

f/ = sin2y r;t .

I.

= I

 

t

3. t/ =

-|-cos — .

 

 

1 -J-

 

 

's.

CD

 

 

5. н = 1 п 2у .

6. у = \п~\/

 

 

7. у =

arctg —

 

•

 

8.Найти дифференциал пути, выраженного уравнением s= 5 / 2, если / — 4 и Af = 0,01.

9.Вычислить приближенно приращение функции у = х ъ—5х2+80 при переходе аргумента от х = 4 к х — 4,001.

10.Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное прира­ щение площади его при увеличении его стороны на 0,0! см.

II. Найти приближенное приращение площади круга, если ра­ диус его изменяется с 50 см на 50,1 см.

12. Сторона

куба,

равная

 

 

1 м,

удлинилась

на

10 см. Насколько

при этом увеличился объем куба?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием

сторона

основания равна

20

 

см,

а

высота

равна

10

см.

Насколько

увеличится его объем, если сторону основания

удлинить на 0,02

см}

14.

В конусе радиус основания равен

15

см,

а

высота содер­

жит 20

см.

Насколько

увеличится его объем, если радиус основания

удлинить на 0,04

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

R

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

Шар

радиуса

=

9

был нагрет,

вследствие

 

чего объем

его увеличился

на 32,4л сиі3. Узнать удлинение радиуса

шара.

 

16.

Куб

 

со

стороной

а =

 

10

см

при

нагревании

 

увеличился

на 0,06 своего объема. Узнать удлинение ребра куба.

 

 

 

 

17. Объем шара при нагревании увеличился на 0,0024 своей

величины. На

сколько

процентов

 

увеличилась

длина

его радиуса?

18.

Какой

процент

будет

 

составлять

ошибка,

полученная при

вычислении площади круга, если при измерении радиуса его сде­ лана ошибка в 1%?

19. Объем куба увеличился на 6% своей величины. На сколько процентов увеличилось при этом его ребро?

Найти приближенное значение следующих функций:

 

20.

у =

х 2 +

х

 

при х =

 

3,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

у —

ЗУ- +

 

2 х

— 1 при

X

=

2,03.

 

 

 

 

 

 

 

22.

у =

X 3

+

X 2

—

2х

при

 

л: =

2,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,1.

 

 

 

 

 

 

23.

 

=

-^- л:3 — 5л:2 +

X

— 1 при

х =

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

=

х 3 — 2х +

1 при

X —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у —

X 3 —

 

 

 

 

 

х —0,02.

 

 

 

 

 

 

 

25.

у

 

 

Х4л:2 +

1 при

 

 

 

 

2,03.

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

=

 

 

 

 

 

 

при

 

X —

4,2.

 

 

кривая,

определяемая

 

§ 101.

Кривизна

 

кривой.

 

Пусть дана

уравнением

у — f(x)

 

(рис.

 

113). Возьмем на

ней две

точки

А

и

В

и проведем

в них касательные к кривой. При переходе от точки

А

к

точке

В

касательная меняет угол наклона к положительному

направлению оси

 

абсцисс

 

на

 

некоторую

величину. Если обозначим

Смотрите также файлы