Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 332

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

250

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

 

 

[ГЛ. X

угол

наклона

касательной в

точке

А

к

оси

Ох

через а,

то угол

наклона

касательной

в точке

В

к

той

же оси, получив

прираще­

а

 

ние

Да,

будет

равен

а + Да,

угол

между

самими касательными,

как видно из рис. 113, будет Да. Величину Да можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.

Разделив Да на длину дуги AB — As, получим среднюю ве­ личину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги.

Отношение

называется средней кривизной кривой на ее участ­

ке AB. Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.

Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограни­ ченно приближается к точке А и As уменьшается, стремясь к нулю;

тогда предел

отношения

 

будет

определять

кривизну

кривой

в точке А.

Обозначив кривизну кривой в точке буквой

К,

будем

иметь:

 

 

К

=

Пт-

Да

 

 

 

 

 

 

As ’

 

 

 

 

 

 

 

Ді

»0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е . Кривизной кривой в данной ее точке А на­ зывается предел, к которому стремится средняя кривизна дуги AB при неограниченном приближении точки В к А.

Согласно определению производной (§ 63)

.. Да lim As->0 A-s

поэтому

da ds

(I)

Преобразуем правую часть этого равенства, выразив da и ds через производные данной функции, у. = f(x)\

§ 101]

 

 

 

 

 

 

КРИ В И ЗН А

К РИ ВО Й

 

 

 

 

251

 

Согласно

геометрическому

смыслу

производной

(§

66)

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

tg а =

у'.

 

y =

f(x)

 

 

А

где

а — угол

наклона

к

кривой

в точке

касательной

 

 

 

 

к положительному

 

направлению

 

оси

абсцисс (рис. І13);

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

arctg (/'.

 

 

 

 

 

 

В

этом

равенстве

 

 

=

 

 

так

как

arctg

у'

 

arctg у' — сложная

функция,

 

зависит

от

у',

а

у'

зависит от

х.

Продифференцируем

последнее

равенство по аргументу

к; получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

 

- ^ - = ( a r c t gr/y-.

 

1+ (y'Y (y'Y = 1 + (y'Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

da

 

 

У" dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

1 + (y'Y ’

 

 

у

 

Найдем

 

выражение

 

через

 

производную

функции

=

Для

этого

возьмем снова тот

же

участок

AB

кривой

(рис.

Будем

рассматривать

длину

AB

как

 

 

 

 

приращение

 

дуги

 

М0А,

соответствую­

 

 

 

 

щее

приращениям

PQ —

Дх

и

RB =

 

 

 

 

у.

Если

Дх

 

 

достаточно

мало,

 

то

 

 

 

 

= Д

 

 

 

 

 

 

 

 

отрезок

дуги

 

AB

 

 

можно

 

считать пря­

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

молинейным;

 

этом

 

случае,

приме­

 

 

 

 

няя

теорему

 

Пифагора,

 

получим:

 

 

 

 

 

 

или

 

AB2

=

 

AR2

+

RB2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yY-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(As)2 =

(Дх)2 +

(Д

 

 

 

на (Дх)2,

найдем:

 

 

Разделив

обе

 

 

части

 

равенства

 

 

( 2)

f(x).

114).

отсюда

г - У '+(АхѴ)

Положим, что Ддг-^0; тогда

As

дх->о Ьх -

И «

г

\ Ах )

 

 

 

 

 

 

lim .

длг->о

 

суммы и степени (§ 45), по

Применяя теоремы о пределе корня,

лучим: As

 

 

А х - > 0

1

Д х - » 0

 

 

 

lim* - * 0 ——

 

 

 

 

 

 

д

 

 

Пш

 

+

ІІШ

 

 

 

 

 

 

 

Д ІІШ

 

Ау

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дх

\ 2

*

(3)

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

х - * 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

252

 

 

 

 

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

о

 

 

 

 

,.

As

 

ds

 

 

 

-Дм

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

—г— =

—

и

hm

 

Г - — У ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A.V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д х -* 0

A.V

 

 

 

Дд:->0

 

 

 

 

 

 

поэтому равенство (3) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

^ - V T T W

r .

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

ds —

 

(y')2 dx.

 

 

 

 

 

 

Подставив

значения da и

ds V^l +

 

 

 

 

получим:

 

 

 

в выражение (1),

 

 

 

К

da

-

,J"dx

; V r + W V d x =

-

+

 

У"

 

 

 

 

 

ds

-1 +

(у'У

(уТ] V

1 +(</')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fl

 

 

 

 

 

>h ’

 

 

 

 

 

 

 

К - -

[1

У

21

 

 

 

 

fl +

m

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

+(</Т]S/j "

 

определяемой

 

(5)

(5) позволяет найти кривизну кривой,

урав­

нением

у

=

f(x),

в любой ее точке.

Кривизну

окружности

можно

§

 

102.

Кривизна

окружности.

определить по формуле (5)

§ 101,

но

гораздо

проще

ее найти из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следующих рассуждений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем

касательные в двух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точках

 

/1

и

В

окружности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 115). Обозначив дугу

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через As, найдем среднюю кривиз­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ну на этом участке; она выразит­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ся дробью

Проведя радиусы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

точки касания, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z АОіВ =

Д а ,

 

 

 

так как углы АО\В и Да обра­ зованы взаимно перпепдикуляриыРис. 115. ми прямыми. Но, как известно, угол в радианной мере измеряется

отношением длины дуги к радиусу; следовательно,

As

Д а - ~ R ’

откуда

Да ____ 1_

As ~~ R "

§ 1031

РАД И УС КРИ ВИ ЗНЫ к р и в о й

253

 

 

Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо

участок окружности. Следовательно,

I

1

 

um

Да

lim

 

-т— =

— =

—-

 

д « - > о

A S

д $ - » о

><

Л

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривизна окружности постоянна

во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.

 

 

для любой точки окружностй, т. е.

 

 

 

 

 

 

§

103.

Радиус

кривизны

 

кривой.

 

 

 

При изучении кривизны кривой подби­

 

 

 

рают

такую

окружность,

кривизна ко­

 

 

 

торой

 

равна

 

 

 

центром

кривизны

 

 

 

 

кривизне

кривой

 

в

той

 

 

 

кривой

 

в соответствующей

точке,

 

 

 

 

 

или иной ее точке. Центр этой окруж­

 

 

 

ности

 

радиусом

кривизны

кривой

 

в

 

 

 

 

 

называется

 

 

 

 

 

окруж­

 

 

 

этой

точке,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ностью кривизны

 

 

 

 

 

 

 

 

ра­

 

 

 

диус —

 

 

сама

 

 

Окружностью

 

 

 

 

 

 

 

окружность —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М кривой

называется

 

 

 

кривизны в

точке (рис.

116).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружность,

проходящая через точку М

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и имеющая с кривой одинаковую кри­

 

 

 

визну

и

общую

 

касательную.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что. центр окружности кривизны всегда располагается

со стороны вогнутости кривой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Как мы знаем

(см. §

102), кривизна окружности

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ’

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

R ~

 

К'

 

 

 

 

 

Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее опреде­

ляется тем же равенством.

 

 

 

 

 

 

изравенства

(5) §

101,

полу­

Заменив

 

его

значением, взятым

чим формулу для определения радиуса кривизны

кривой

в

любой

ее точке:

 

 

 

 

R =

[1

+

у"

 

 

 

 

( 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÜO’I'7,

 

 

 

Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением у = kx + Ь, получим:

так как

y'

=

k

и

у

" =

R = (1

+ /г2)‘Л

 

 

 

 

 

 

 

0,

О

 

 

 

 

Это значит, что прямую линию можно рассматривать как

окружность бесконечно большого радиуса.

у

 

2х2

 

П р и м е р .

Найти

радиус

кривизны кривой

=

в точке,

абсцисса которой равна

I'll"

'

 

 

 

 

—-— .

 

 

 

 

 

254

 

 

 

 

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л

 

 

[ГЛ. К

Р е ш е н и е .

Найдем сначала

первую

и вторую

производные

 

 

у = 2х2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ2

 

функции

для точки с абсциссой

х =

—-— :

 

 

 

 

У

;(2х2)' =

 

4х

н у '

yrj =

 

Ѵ2

= 2 / 2 ,

 

 

 

 

4 — 2

 

 

 

 

 

у"

=

 

(4а-)' == 4

для всех

х.

 

 

Подставив

значения

у'

н

у"

 

 

(1),

_получим:

 

(1 в формулуу

 

j,

 

[1 + ( 2 У Т ) г]3/г

_

и +»)--

/

93

27

С75

 

 

 

8 а/~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У п р а ж н е н и я

 

 

Найти радиус кривизны следующих кривых:

 

 

1.

у =

А'2 +

X

в точке 0(0; 0).

 

 

 

 

 

2.

у

 

X2 — X

+ I в точке, абсцисса которой

х = - ^ - .

 

ху=

 

 

 

3.

у2

=

4 в

точке

А

 

(2; 2).

 

 

 

 

 

 

4.

у2 =

4х3

в

точке

Л (1; 2).

 

 

 

 

 

5.

 

=

х3 +

X

в точке,

абсцисса которой х =

I.

 

 

 

 

 

 

6.= в точке Л (0; 1).

7. //= sin х в точке, абсцисса которой х = -^-.

8. y = cosx в точке Л ^ ; o j.

9. Найти точку на кривой і/ = -і-х г, в которой радиус кри­

визны наименьший.

Смотрите также файлы