Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 331

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А XI

ИНТЕГРАЛ

§ 104. Понятие о неопределенном интеграле. Имея функцию, можно по известным нам правилам найти ее производную, что, как мы знаем, имеет большое прак тическое значение. Так, по данному закону движения тела мы находим скорость его, как производную пути по времени (§ 61 и § 63); по данному уравнению кри вой определяем при помощи производной угловой коэф

фициент касательной, проведенной	к этой кривой (§	6 6	),
и т. п.
Однако часто приходится решать и обратную задачу:
по известной скорости движения	тела устанавливать

закон его движения, по данному угловому коэффициен ту касательной к кривой находить уравнение этой кри вой и т. п., иначе говоря, по данной производной оты скивать функцию, от которой произошла эта производ ная. Поэтому нам необходимо познакомиться с прави лами решения указанной задачи.

Заметим, что находить функцию можно не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу, так как производная функции и ее дифференциал связаны простым соотношением [(4) § 97]. Практически же оты скивать функцию удобнее по ее дифференциалу, поэто му в дальнейшем изложении мы и будем пользоваться

дифференциалом для решения обратной задачи.			(1)
Пусть функция		f(x),У = Р{х)
имеет производную		dy тогда ее дифференциал
		— f (х) dx.	2
Функция (1) по отношению к ее дифференциалу			( )
			(2)
называется	первообразной.

256	И Н Т Е ГР А Л	[ГЛ. XT

О п р е д е л е н и е . Первообразной функцией для вы ражения f(x)dx называется функция F(x), дифферен циал которой равен f(x)dx.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Действительно, пусть F (х)— первообразная для диффе ренциала f(x)dx. Тогда и любая функция вида /7 ( x ) - fC , где С — произвольная постоянная, будет первообразной для f(x)dx, так как

(F (X) + С)' =

F' (х) + С ' =

f (х)

Ч-O

f(x).

F(x)

первообразные

Обратно,

пустьF(x).

Ф(х) — две

функции

f(x)dx.

Рассмотрим=

функцию

дифференциалаf(x)

f(x)

Ч/(х)r(x)—= ФC

(х)— F'(x)

По

определению

первообразной

'F 'U ) = Ф'(.ѵ)—

—

как

Следовательно,

— постоянная,

так

только

производная

постоянной величины равна нулю.

Итак,

(х) =

F {х)

- f

С.

Если

придавать

всевозможные значения, то, зная пер

вообразную

F{x),

f(x)dx.получимСовокупностьвсе первообразныевсех первообразныхдля диф

ференциала

функций F(x) - j - C для дифференциала

f(x)dx назы

ваетсяО п р енеопределеннымд е л е н и е .

интегралом и

обозначается

J f (х) dx.

Таким образом, можно записать

J f {х) dx

F (х)

С,

f(x)dx

подынтегральным

выражением,

где

называется

f(x)

подынтегральной функцией).

а С —

произвольной

постоянной интегрирования

х2

неопределен(функ

цию

иногда называют

является

Например, выражение

ным

интегралом

для

дифференциала

2х dx

и обозна-

чается символом

2xdx,

т. е.

J 2х dx — X2+ С.

§ 105]

С В О Й С ТВ А Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О ГО И Н Т Е ГР А Л А

257

Процесс нахождения первообразной функции назы вается интегрированием, а раздел математики, зани мающийся вопросами, связанными с интегрированием,—

интегральным исчислением.

Из сказанного видно, что и н т е г р и р о в а н и е е с т ь д е й с т в іге, о б р а т н о е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и ю .

§ 105. Основные свойства неопределенного интеграла. П е р в о е с в о й с т в о . Дифференциал неопределен ного интеграла равен подынтегральному выражению,

т. е.

d I f(x)dx — f (х) dx.

Это свойство следует из определения неопределенного интеграла.

В т о р о е с в о й с т в о . Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложен ной с произвольной постоянной.

Пусть

Если возьмем	dF (х) = f (х) dx.
Если возьмем	интеграл от обеих частей этого равенства,
то получим:	J dF (х) — J /(х) dx.

Но, по определению,

J f ( x ) d x = F (x ) + C,

следовательно,

J dF(x) = F { x ) + С.

Примем без доказательства еще следующие свойства неопределенного интеграла.

Т р е т ь е с в о й с т в о . Постоянный множитель мож но выносить за знак интеграла, т. е.

J af{x)dx — a j f (х) dx,

где а — постоянный множитель.

9 И. Л. Зайцев

258	И Н Т Е ГР А Л		[ГЛ. XI
	Ч е т в е р т о е с в о й с т в о .	Интеграл	от алгебраиче
	Ч е т в е р т о е с в о й с т в о .

ской суммы функций равен алгебраической сумме инте гралов от каждой из них,

J [fi

(х)

+ f

2 (х) —

M l

т.

е.

+ I fa

(x) dx —

3 (x) dx.

Jfi M

§ 106. Основные формулы интегрирования. Для нахо ждения неопределенного интеграла необходимо знать основные формулы интегрирования.

Выведем сначала формулу для интегрирования сте пени. Рассмотрим функцию л^+’ и найдем ее дифферен циал:

d (.v'l+1) = (п + 1) хп dx.

Взяв интеграл от обеих частей этого равенства, по лучим:

J d (jcn+l) = J" {п-\- 1) хп dx.

Применяя второе свойство интеграла к левой части последнего равенства и третье свойство к правой части, найдем:

хп+\

) J

хп dx,

отсюда при

1 ф+0 С , = ( « +

С,

Jхп dx

п+

Обозначив

С,

буквой С, бу-

постоянное слагаемое

дем иметь окончательно:

п++

11 f

Iхп dx

с.

Выведенная формула справедлива для любого значения п, кроме п = — 1. В последнем случае эта формула те ряет смысл.

Пусть теперь нам нужно найти

Зададимся

вопросом, какая функция имеет своим дифференциалом

♣ 106)

О С Н О В Н Ы Е

Ф ОРМ УЛЫ

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

259

выражение

— .

Такой

является

функция

Іпх +

С,

так как

d(\nx +

C ) = ^ - .

(1)

Однако запись

J,*

—

Іпл:+С

не является

точной. Действительно, в левой части подын

тегральная

функция

хопределена

в любом

интервале,

не содержащем

точку

тогдах

как в

правой хчасти

функция

не имеет

смысла

при отрицательных,

х.

Итак, формула

(1) верна при

0. Пусть теперь <

Положим

—X

г, тогда

dx =

— dz,

—

= -= - ^ ==

= —р .

Следовательно, при

(2)

\ ^ ~ ^ \ ^ -

\nz +

C =

\ n{ - x) +

C %

Объединяя

формулы

(1)

и1

( ), получим окончательно

п| * I + С.

Аналогично, путем обращения соответствующих фор мул дифференцирования, легко получить другие простей шие формулы интегрирования. Приведем таблицу основ ных формул.

xndxТ а б л и ц а

ф о р м у л

и н т е г р и р о в а н и я

= ^ - ^ r +

(I)

J cos

X dx

sin

-j- С. (VI)

при

п ф

—

~ =

1. .

+ь

\п\ х\-\-С.

(И)

(VII)

ех dx — ex +

С.

—

J ах dx = - ß

С.

(III)

arcsin-t+C. (IX)

—

(IV)

( l i f r —

1=tB*+C.(VIH)

sin а:

‘

С. (V)

arctg

x-\ -C .

(X)

— cos л +

*) Здесь фактически применен метод интегрирования способом подстановки — см. ниже § 108.

Смотрите также файлы

Массовых коммуникаций российской федерации ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образов.docx

Сынып 7.docx

Вы зашли под именем Алиева Виктория Николаевна (Выход) анпоо "нспк".pdf

Учебнометодическое пособие по курсовому проектированию А. Н. Губин спбгут. СанктПетербург, 2021. 30 с. Содержит рекомендации по выполнению курсового проектиро вания при изучении дисциплины Проектная оценка надежности ин формационных систем.pdf

Понятие мошенничества. Предпосылки, причины и условия возникновения.docx

Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно