Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 330

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

260

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

 

[ГЛ. XI

 

несколько

 

примеров.

 

 

 

 

Разберем

 

 

 

 

)dx.

П р и м е р

1.

 

Найти

 

J

(5х

4

—

4Х3

4 - Зх

2

 

 

 

 

 

 

— 1

Р е ш е н и е . Применяя

четвертое и третье свойства

интеграла,

а

затем формулу

(

1

) и

второе свойство,

получим:4*3

- f Зх

 

-

 

)dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (5х —

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= J 5х4 dx — J 4х3 dx 4- I Зх2 dx — |

= 5 J X4 dx — 4 [ X3 dx 4- 3 J x2 dx — j dx =

= 5 — 4 4 - 3 — x 4 - C = x5 — x4 4- X3 — X 4“ C.

Здесь С является алгебраической суммой четырех про­ извольных постоянных слагаемых, входящих составной частью в каждый интеграл.

Легко проверить правильность интегрирования; для этого найдем дифференциал от полученной в ответе

функции:

X4 4- X3

 

X

 

4

 

3

 

2

1 dx.

d(x5

 

—

 

4- С) = (5х

— 4х

4- Зх

— )

—

 

 

 

 

 

В результате получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден верно.

П р и м е р 2.

Найти

I

2хѴ~х dx

'

t X

Р е ш е н и е .

Данный

интеграл

не подходит ни под

одну из табличных формул, поэтому подынтегральное выражение преобразуем следующим образом:

 

2хУ~х dx

j ±

±и,

 

]_

 

 

 

 

 

 

2 хх2 X

 

3 dx =

2 х 6

dx.

 

 

 

 

Применяя

третье

свойство

6

и формулу

(I),

получим:

2

л I

13

 

 

С

 

41. .*

6

Ѵ х

 

С.

 

2 ~-VЖ

 

 

 

 

 

J

 

Р С = -13[г к ^ -Г ^ =

- -------ѵ*2

 

4-

 

 

 

 

3

2

 

 

 

x «dx =

6

Г X2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

3. Найти I — -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

1 06]

О С Н О В Н Ы Е

Ф ОРМ УЛЫ

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

261

в

Р е ш е нX:и е .

Представим

подынтегральную

функцию

виде

суммы

двух

функций, разделив числитель по­

членно на

Тогда данный интеграл разобьется на сумму интегра­ лов; применяя формулы (I) и (II), получим:

 

 

j ( x + ± ) d x

=

x d x + t

 

dxX

 

= -^-+1п| *1 -f с.

 

 

Мы

разобрали простейшие примеры, в которых функ­

ции могли быть выражены путем несложных преобра­

зований в виде, позволяющем применить для нахожде­

ния

интеграла табличные

формулы. Очень часты случаи,

 

когда

таких

простых

преобразований

сделать нельзя

 

и для интегрирования приходится применять особые

 

приемы, иногда довольно сложные.

 

 

недостаточно

 

 

Таким

образом,

для

интегрирования

 

простого знания формул, нужен еще опыт, который на­

 

капливается постепенно в процессе решения примеров.

 

Интегрирование в отличие от дифференцирования тре­

бует

от

нас

известной

изобретательности

и

 

смекалки-

 

1.

/X d x -

" 2-

JX4 dx.

Упражнения

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

J y -

 

dx.

4.

j

 

5 dx.

 

 

5.

J а dip.

*

6.

J1 2л: dx

J

(а +

 

 

 

t2 dt.

-8.'

J (2 — .v) dx.

х 9.

J (Зд: — Xs) dx.

 

10.

 

ф2) £?ф.

*

11.

J 3 (X -

2) dx.

**

12.

J (4л;3 +

4л; — 3) dx.

•■ 43.^J л:2J4(1 +

2л:) dx.

 

 

 

 

 

*1 4 .

J (х

+ З)2

dx.

 

«*»

J 4 (2л: -

-

У-dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

15.

1

J І^л■2

 

 

 

 

-

16.

J X (1 — л;)2 dx.

J(*

J У7х

dx.

 

*•18.

dx.

3

 

*

19.

[

d

CD

 

 

У и

 

о,

J

У *

 

„

 

Г

'1—

 

 

 

 

du

 

 

Г

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

 

J

— Г ■

 

20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

со2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

262

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

*23.

261

28

7

30

Jf Sd*-\

24.

JГX j L

dx.

25,

{

4V xi

3«

,

 

2 / 7

 

 

 

 

 

 

— Vx -

2

1 ( ? - , 7 + 3 1 ^ )

л

 

/

3x

dx.

ѵ - У і

■ do.

29.

 

J 4 sinл: dx.

 

J

За

du

 

J 2

У 7

 

31.

J-Ifg-.

 

32.

2 и

 

 

a cos Ф dtp.

 

 

 

 

sin

 

1. J (1

+ cos

t) dt.

 

 

34.

 

J (2

—(3 sin

x) dx.

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

'

 

 

 

 

 

35.

J

 

2

2

cos х)

dx.

 

 

 

36.dtp. J

2

 

 

 

d<p.

 

 

(Зх du.—

 

J

2

 

\ COS Ф

gin

)dx.

 

 

 

37.

J

Зе"

 

 

38.

 

 

аф

 

 

 

 

 

ф .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.di

 

j

(x — 5eA)

.f (f-7 1-

40.

j*(2e'-3cos

t)dt.

 

 

 

41.

 

 

 

J 32t

 

'

42. J

 

 

 

 

JГ

 

3

dx

 

 

 

 

 

 

о +

 

43.

Г

6 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

45.

 

2

2

1

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

Гi + x 2-

 

 

 

 

 

 

 

4

V T =

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

46.

 

 

 

 

 

 

.

f . ^

 

+ ^ s lnx

 

 

 

COS

 

 

Sin4~ 2 dt.

 

 

4 7

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

ex

 

 

JГ X

 

1

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x dx.

 

 

 

 

 

 

48.

 

 

2 X dx.

 

49.

 

J

 

tg

 

 

 

 

50.

X 2 +

 

-

 

 

 

j* sec

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 107. Определение постоянной интегрирования. В § 104

было установлено, что в равенстве

С

 

 

 

 

 

 

постоянное

 

 

 

 

J

 

f{x)dx — F (х)

+

 

 

 

 

значение,

слагаемое

 

С

 

 

имеет произвольное

а потому неопределенный интеграл представляет собой множество первообразных функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Чтобы из сово­ купности первообразных функций найти одну, отвечаю­ щую задаче, нужно иметь дополнительное условие.

Пусть, например, требуется найти уравнение кривой, проходящей через точку М( 1 ; 3), если известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной в лю­ бой точке кривой равен 2х,

§ 1 07]

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П О С Т О Я Н Н О Й И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Я

263

 

(§

6Согласно геометрическому смыслу производной

6

) напишем:

 

 

откуда

dy = 2х dx.

Взяв интеграл от обеих частей последнего равенства, получим:

или

I d y = J 2X dx

(1)

у = х2-\-С.

Равенство

(1) не может служить ответом на

вопрос

задачи, так как оно содержит неопределенное постоян­ ное С. Чтобы получить определенный ответ (т. е. един­ ственную первообразную функцию для данного диффе­

ренциала),

воспользуем­

ся

дополнительными

дан­

ными

задачи,

а

именно

координатами

точки,

ле­

жащей

на

кривой, урав­

Xнение

которой

ищется.

Положив

в уравнении (1)

=

1

и

у =

3,

получим:

откуда

3 =

1 + С ,

 

 

С =

2.

 

 

 

Итак,

искомое уравне­

ние кривой (т. е. искомая первообразная функция, удовлетворяющая данному до­ полнительному условию), будет

 

 

 

 

у = х2 +

2.

 

(2)

Построив

графики

1первообразных функций,

опреде­

ляемых уравнениемОу.(

),

мы получим множество

(семей­

ство)

хпарабол= \

1

 

 

), каждая из

которых имеет

у(рис.—

1 7

вершину на

оси

 

Задав

дополнительное

условие

(при

 

и

3),

мы тем самым

из множества

Смотрите также файлы