Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 329

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

264

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

[ГЛ. XI

 

 

 

 

 

которой лежит

 

 

 

х =

 

2

 

 

 

 

 

у —

 

 

 

 

2

 

 

 

парабол выделили одну параболу (х), иау

1

 

координатами

 

1 и

 

3.

Б самом

деле,

точка с

 

 

подставив в уравнение ( )

вместо

и

соответственно

 

и 3, получим тождество.

 

 

 

 

С

изме­

 

Если

изменить дополнительное условие, то и

 

нится, а соответственно с этим мы получим другую пер­

вообразную функцию, графиком

которойС =

будет

другаяу х2

парабола того же семейства. Например, если

кривая

проходит через точку Л'(1;1),

то

0 и

=

(рис. 117).

 

 

 

Уп р а ж н е н и я

1.Найти J (х — 3) dx, если при к = 2 первообразная функция

равна

9.

Г

(sin

X

+

cos

х) dx,

если

при

х =

я

 

 

 

 

2.

Найти

 

 

 

 

 

-^- первообразная

функция равна 2.

 

l j r f j c ,

 

если

при

 

=

1 первообразная функ-

3.

Найти

 

{ ~ 7

~

 

X

ция равна 2.

J

 

ех —

cos

х

j

dx,

если

при

х =

0

первообр

азиая

4.

Найти

 

 

 

 

 

 

 

функция равна

 

 

 

 

 

 

 

если

при

х — 0 первообразная

.5. Найти

К1 +5х 2 \ -i\ d x ,

функция равна 0.

 

 

линии,

проходящей

через

точку

А

(2;

1) и

6.

Найти

уравнение

 

обладающей таким свойством, что угловой коэффициент касатель­ ной в каждой ее точке равен абсциссе этой точки. Построить эту линию.

7. Составить уравнение линии, проходящей через точку Д(1; 1), если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен

обратной величине абсциссы точки касания.

 

 

 

 

м/сек.

 

8. Скорость тела задана уравнением

ѵ

=ѵ

(6/2 +

1)

Найти

уравнение пути

S,

если за время ^ = 3

сек

тело

прошло

60

м.

9. Скорость

точки задана уравнением

 

 

=

(t2

— 6f -f- 7)

м/сек.

 

 

 

 

 

Найти уравнение движения, если к моменту начала отсчета времени точка прошла путь S = 4 м.

10.Скорость точки задана уравнением t/ = 4cos? м/сек. Найти уравнение движения, если в момент t = я/6 точка находится на расстоянии S = 8 м от начала отсчета пути.

11.Тело движется со скоростью, возрастающей пропорционально времени. Найти уравнение движения, если в начальный момент путь тела S = 0, а через t = 5 сек оно прошло путь 5 = 15 м.

§ 108]

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С Т А Н О В К И

265

 

12. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти уравнение движения, если известно, что за 3 сек тело про­ шло 18 см, а в начальный момент путь S = 0.

§ 108. Интегрирование способом подстановки. I. Если

заданный интеграл

простейшими преобразованиями

трудно привести (или совсем нельзя привести)

к инте­таб­

личному,грированиемто

способомдля его

подстановки.отыскания применяются

особые

приемы. Рассмотрим один из них*), называемый

П р и м е р

1 . Найти J (1 + х)5 dx.

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

 

1 + X — Z,

( 1)

где z — новое переменное. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства (1); получим dx = dz. Заменив в искомом интеграле 1 -j-x и dx их найденными значе­ ниями и применив формулу (1 ) § 106, найдем:

Но ответ должен быть представлен как функция от переменной х\ поэтому, подставив вместо z его значение из равенства ( 1 ), получим:

{ l + x ? d x = ± ( l + * ) 6 + С .

Для проверки решения найдем дифференциал полу­ ченного выражения, рассматривая его как степенную функцию от ( 1 + х ) :

d [ i - ( l - | . Х ) 8 + С] = j - 6 (l + x f d x = (l + x f d x .

В результате получилось подынтегральное выражение; следовательно, интегрирование было произведено верно.

П р и м е р 2. Найти

*) Другой прием (так называемый способ интегрирования по частям) изложен в § 146 (стр. 380—382).

266

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

 

 

Р е ш е н и е . Положим

3 =

z,

2

х +

 

 

 

 

отсюда 2 dx = dz и dx - - у .

Подставив

в

подынтегральное

 

выражение

вместо

2х + 3

и dx

нх

значения, заменив

 

корень

степенью

с дробным показателем и применив

формулу

(I)

§ 106,

найдем:

 

 

 

 

 

 

2 ,

z

 

 

 

 

 

 

Y

2

х -{- 3 dx =

 

 

 

 

2

dz —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

I *_з

 

 

 

 

+ С:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- + C = ± V &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

Перейдя к прежнему переменному

х,

получим:)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f / 2 х + 3 dx = j / ( 2х + З

3

+ С.

 

 

 

П р и м е р

3.

Найты J

sin (а +

bx) dx.

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

bx = z,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

=

а +

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b dx

dz

dx = 4 b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^- •

 

 

 

Сделав подстановку, как в предыдущем примере, и

применяя

формулу

(V)

§

106, получим:

sin (а +

bx) dx = J

 

 

dz

=

— у1 cos z + C =

sin z •—

П р и м е р 4.

Найти

J

 

 

=

— у cos {a + bx) + C.

Р е ш е н и е . Положим

X3

=

z,

dz

откуда

 

 

1

+

 

3x

2 dx = dz

и

X

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

§

108]

 

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С Т А Н О В К И

 

267

Сделав

 

необходимую замену

и применив

формулу (II)

§

106,

получим:

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' J w = | 1 : = T 1" 2 + C = : r l" < 1+ * 3> + C -

 

П р и м е р

5.

Найти

J

s\n2x z o s x d x .

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

2

,

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

sm x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx =

 

dz

 

 

 

 

 

и

sin

2 X

cos

x d x = Jz2 dz

=

-y- +

C =

sin

3 x

+

C.

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

. Найти

 

sin X d x

 

 

 

 

 

 

6

 

y=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-л/ T ^ r Cps X

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . ПоложимJ

 

X =

z;

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

1

— cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx =

 

dz

 

 

 

 

 

и

f - Ä

= f

* = f z ~ * d z =

 

 

 

 

 

J К 1—cosX

 

 

J ЛГгѵт

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

У

+

0 = 2 ^ 1 — cos X + С.

 

П р и м е р

7.

Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J(fLf•

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Полодсим

 

 

 

г;

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

1 - е х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ех dx — — dz

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= - 2 - ^гу + С = 4 + С= 1 — & •+ с.

268

 

И Н Т Е ГР А Л

[ГЛ. XI

П р и м е р 8 .

Найти

J э ТdxД 2

интеграл напоминает

Р е ш е н и е .

Так

как

искомый

табличный [(X)

§

10G],

нужно соответствующими пре­

образованиями привести его к виду, позволяющему при­ менить указанную формулу. Для этого вынесем за знак

интеграла множитель

Получим:

 

 

_

^

=

1

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

I

 

 

(У

 

 

 

Jг 9 +

 

д:2

 

9 Jг

'+1г

1

+

 

Положим

теперь

 

T =

Z ;

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

dx =

3 dz

 

 

 

 

dx

J

 

 

dx

 

 

/■

dz

 

 

 

 

I 9 +

x*

M - (fr=

 

3 z-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

C =

4 -a rctg 4

+ C .

П р и м е р

 

-к- arctg z +

9.

Найти

 

ГУ Тrf- 5x2

 

 

 

 

Р еdx

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

J vm

 

 

 

 

[(IX)Г

ш е н и е . Этот интеграл приводится к табличному

§

106] следующими преобразованиями:

 

J Уз — 5х2

; У

Ф

-

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

- I

 

Уз у

 

 

-

F T /

/ - ( й

- r

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VW

— X = z;

Уз

Смотрите также файлы