Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 328

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1081 И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С ТА Н О В К И

тогда

 

vT dxл =

dz,.

 

отсюда

 

dx. = -V~j=T

dz..

 

Следовательно,

 

V T

 

 

 

 

/ з

dz

 

 

_

 

/

dx

■”

VT J

 

 

 

у г =

 

пJ / . - t ë * .

\V T

1 Г

~r

^

 

 

1

 

 

. ~

—

J

 

 

= -'T = = -

7

= -a rcsin z4 -C =

V T

 

 

V I — z2

V5

 

 

 

. Yb

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y= -arcsin

 

dx

5лг2

=

1

 

 

.

 

/ 5

X ,

,,

Vз3 -

 

 

VT

arcsin —=

+

С.

JГ

, - —

 

 

Ѵб

t g x d x .

VF

 

 

П р и м е р

10.

Найти

|

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

J

tg

X dx =

 

 

sin

X dx

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos*= z;

 

 

 

 

тогда

s n x d x = — dz

и

269

+, n

Jtg X dx — J — — — In [ z I+

C = — ln! cos X I+ C.

П р и м е р

11. Найти

J cos2*d*.

Р е ш е н и е .

Заменим

cos2* по

формуле

о

1 +

со:cos 2

JC

COS2 *

------------== — 5

T

•

 

 

 

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е Г Р А Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГЛ, XI

тогда

 

 

 

J*

1

+

 

|os 2*

 

d x = J

 

 

+

 

YCOS2x^dx =

 

 

J cos2x d x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=JT

 

 

J

 

J

 

Tcos2 x d x =

Y x

+

 

T j

cos^x^x'

 

 

Для нахождения

 

 

 

2 x dx

положим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx — z,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

2x dx =

Y

J

cos

z

• у

dz = ^ J

cos

zd z —

 

 

 

 

■ i j cos

 

 

 

 

 

 

 

— —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinz +

C = - T

sin

+

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X +

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

Icos2 X dx — у

 

 

sin 2.x +

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1 2 . Найти

J ]f a2 — x2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 )

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxx== aasin z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Y a 2

—

X2

=

|/a

2

—

a2 2 z = a Y 1

— sin

2 z — a

cos

z.

 

ТакимY

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образом,

 

 

 

 

 

a

cos

z a

cos

zdz =

a2

J cos

2 z dz.

 

 

I

 

a2 — X2 d x =

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напишем:

 

 

 

 

Взяв J cos2 zdz из

примера

1 1 ,

 

 

C .

 

 

(3)

Из

 

 

J\/a2 — X2 dx =

CI2 (Y

 

Z +- j s in 2 z) +

 

 

равенства

(2)

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

z

 

 

а

 

 

 

 

 

 

271

§ 108]

 

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С ТА Н О В К И

 

 

Кроме

того,

 

 

 

 

 

=

arcsin — .

 

 

 

 

 

 

 

sin

2z =

2

sin

z

cos

z

=

2

sin

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - J

l —/ 1sin-

4г -= =

- ^

- y V

- ; c 2

Подставив значения

 

=

а

r

 

 

а2

v

z

 

 

 

 

 

и sin2z в равенство (3), получим:

J У а2 — х2 dx — а2(д- arcsin

 

 

V °2 ~

 

2х2) +2

С =

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

=

-тг arcsin -^ + Y

/ а

 

— я

+ С.

 

2 —

X2 dx —

 

arcsin

+

у

2

—

х

2

+ С.

 

]/а

 

 

 

Ѵ^а

 

 

II. В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно, не произ­ водя подробного решения методом подстановки, как это мы делали в разобранных выше примерах, исполь­ зовать соответствующие формулы, помещенные в ниже­ следующей таблице (для постоянных k и п) :

1) Jekx dx = ^ e kx + С,

2) /а**Лг = і . ^ + С.

3)

Jsin kx dx =

— —cos kx +

C,

4)

Jcos kx dx =

y

sin kx +

C ,

 

5> U

r -

r ^

b

+ C'

С ’

 

6>

1

й Й 7 - - Т

с,в й* +

 

r ,\

I

/ &

dx

 

1n

 

n

I ~

7)

Jr

_

 

 

k

 

 

----= — arcsin

— X -f- <?,

 

 

,j2x2

1

.

n

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

272

 

 

эти

 

формулы

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

быть

выведены

 

[ГЛ. XI

Все

 

 

 

легко

могут

 

с

 

по­

мощью

подстановки

 

 

kx =

z

 

[для

формул

1

) —

6

)] и

 

 

=

z

 

[для

 

формул

7)—

8

)]

 

из

формул

(III) — (X)

§ 106

самими

 

учащимися.

Заметим, что при

 

k

=

 

1 и

п =

 

1

формулы

1

) —

8

)

обращаются,

соответственно,

в основные формулы

(III)J— (X)

§х 106.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

13.

Найти

 

cos

 

dx.

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

cos

 

х dx =

 

-

Р е ш е н и еС..

По

 

формуле

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

5 . 4

 

X

,

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

г

sin —

4-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

'

14.

Найти

J

258

+

л:2 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еdxш е н и е .

По

 

формуле

 

 

) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 +

 

„ —

 

1

 

 

arctg —

х -\- С =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8л:2

 

5 • 2 У 2

 

 

 

 

 

5

 

 

 

—

. - у - arctg ——— X +

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

10/2

Б

5

 

 

 

 

 

 

>■ / (3 +

 

5л:)4 dx.

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J" (а +

bx)m dx.

I

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

^ V x

+

2 d x .

 

 

 

 

2 ^ А х - Ъ

dx.

 

 

f( 3 * + 1 ) 2

 

dx.

••4.

 

 

 

 

 

 

 

 

* 5 .

 

 

 

* 6.

 

 

r (3x

+

 

l)2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

J -У+ü(2 -

—Зх)2 . '

J

 

dx

 

 

 

а 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

J \ + 2 х '

 

 

 

 

‘7-J

3 dx

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У"Зл: +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 4л:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1.

j*

sin2x4*:.

 

 

®12.

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

3 — 4л: '

 

 

 

 

 

 

 

 

* 13.

 

 

 

 

“ 14.

 

 

 

cos^-^-ф +

2^ dcp.

 

 

 

 

 

 

 

Jsin (1 -

t)dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

J^cos-^-— sin 3xj dx.

 

 

-

16.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

J cos2 2л: ’

 

1?-I sin2 Зл:

- le-J

 

 

 

 

 

 

“le-

 

J

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

~зе dO.

 

Смотрите также файлы