274 |
|
|
|
И Н Т Е ГР А Л |
|
|
|
|
|
|
[ГЛ. XI |
§ 109. |
Определенный |
интеграл. |
Пусть в интеграле |
|
|
|
J |
2х dx = |
X 2 |
+ |
С |
|
|
|
|
аргумент |
|
|
от |
|
х |
= |
2 |
|
|
х = 4, |
тогда прира |
изменяетсях |
|
|
|
|
до |
С |
|
|
щение первообразных |
функций |
х2 |
+ |
в указанном про |
межутке значений |
будет: |
С) = |
|
16 — 4 = |
|
|
|
4 + |
С |
— |
(22 |
+ |
|
|
12. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное приращение первообразных функций назы
вается |
определенным |
интегралом |
и |
обозначается сим- |
J42а: dx. |
|
волом |
2 |
Приращение |
|
F(b) F(a) любой |
из первообразных функций F(x)-\-C при изменении ар |
гументаО п р е доте лXе |
—н иае .до X — b называется —определенным |
|
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
интегралом и обозначается |
J f (х) dx. |
аf(x) Ь.непре |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
При этом предполагается, что функция |
рывна в промежуткеь |
значений аргумента от |
до |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
J f (х) dx — F(b) — F (а). |
|
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
|
|
Левая часть аэтого равенстванижнимчитаетсяпределомтак: «определенопределен |
ного интеграла, |
|
|
|
b |
|
верхним пределом. |
|
ный интеграл от а до |
|
эф от икс дэ икс». |
|
|
Значение |
называется |
— |
|
|
|
Для |
|
|
значение |
|
|
ь |
f(x)dx |
вычисления определенного интеграла |
Из равенства (1) вытекает следующее |
п р а в и л о : |
нужно |
найти |
|
соответствующий неопределенныйаj" |
инте |
грал, в полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы определен ного интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.
Чтобы подчеркнуть два действия при отыскании определенного интеграла — нахождение неопределенного
§ 109] |
О П Р ЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й |
и н т е г р а л |
275 |
интеграла и |
подстановку пределов, — пишут формулу |
(1) в следующем виде: |
|
|
I6
F (х)\ = F ( b ) - F ( a ) .
Iа
+1
П р и м е р 1. Вычислить J (х23+ l)dx.
Р е ш е н и е . Согласно правилу имеем:
-1
|
= -5- + 1 + -Ö + 1 — 2 Т ' |
П р и м е р 2. Вычислить |
Я| 4 cos х dx. |
|
3 |
я Р е ш е н и е .
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
п |
|
. |
тІТ\ |
ЯI4 |
cos xdx |
= |
|
4 sin |
х 2 |
А( |
- 8 |
|
|
я |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
_= 4 ^ і п т |
|
і п |
|
) = |
= |
4 |
( |
1 |
- |
|
3 |
|
— 0,865) = |
4 - 0,135 == 0,54. |
|
|
|
і р . ) |
« 4 ( 1 |
|
П р и м е р 3. Вычислить YJJ t Р е ш е н и е .
vT |
i + x2 |
arctg |
X |
VT |
= |
r— |
I- |
dx |
|
|
|
1 |
arctg У 3 — arctg 1 = |
|
|
|
|
|
|
= f - T = i j - 0'262- |
276 |
И Н Т Е Г Р А Л |
[ГЛ. ХГ |
§ПО. Основные свойства определенного интеграла,
В§ 105 мы рассмотрели четыре основных свойства не определенного интеграла. В подробных курсах высшей математики доказывается, что третьим и четвертым из них обладает и определенный интеграл. Кроме этих свойств, для определенного интеграла справедливо и следующее:
Если переставить пределы определенного интеграла, то его знак изменится на противоположный.
В самом деле, вынеся за скобку множитель — 1 в правой части равенства
ь
I f(x)dx = F (b )- F (a ),
получим:
&
J f(x)dx = - [ F ( a ) - F ( b ) ] .
а
Но разность в квадратных скобках есть тот же опре деленный интеграл, только с переставленными преде-
лами, т. е. Jа f(x)dx
ь
Следовательно,
J /{х) dx — —■J /(х) dx.
|
|
|
а |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
Вычислить определенные интегралы: |
|
I |
|
|
1 . |
J2 |
X dx. |
2. |
j*з je2dx. |
3. |
J1x3dx. |
|
|
dx. |
|
|
|
о |
|
4. |
{ (2 *+ l) |
|
5. Jo |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
6. +1 |
|
|
|
|
(3x2+ 1)d x . |
|
|
7, |
|
J 3(«2 + |
l)du. |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
