Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 326

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

278

И Н Т Е ГР А Л

[ГЛ. XI

§ t i l . Вычисление определенного интеграла

с по­

мощью подстановки. Для вычисления определенного ин­ теграла с применением подстановки поступают так же, как указано в разобранных примерах § 108. Но в этом случае есть одна особенность, на которую нужно об­ ратить внимание.

Как мы уже выяснили, метод подстановки заклю­ чается в том, что для приведения заданного неопреде­ ленного интеграла к табличному выражают аргумент через новое переменное, затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначально заданное переменное (аргумент). В слу­ чае же определенного интеграла нет необходимости воз­ вращаться к первоначально заданному переменному.

Разберем

несколько

примеров.

П р и м е р

1.

Найти

2

о

Р е ш е н и е.

Положим

тогда

 

 

 

 

:dx — dz,

 

 

( 1)

откуда

 

 

— 2а

—

dz

 

 

 

 

 

X d,x =

~ .

 

 

 

Так

как

 

мы ввели

новое

2

 

 

связанное

 

переменное,

с прежним равенством (1),

то границы изменения пере­

менного

z,

т. е. пределы

интегрирования

по

перемен­

ному

z,

будут уже другие.х

Они найдутся

из

равенства.

(1) заменой

аргумента

его

значениями 0 и

Сде­

лав эту замену, получим:

 

(нижний

предел),

 

 

 

zH=

1 — 0 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(верхний

предел)

 

§ 111)

В Ы Ч И С Л Е Н И Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О ГО

И Н Т ЕГР А Л А

279

X

Таким

образом, мы нашли, что пределам изменения

 

п

1

 

соответствуют

пределы

изменения нового

 

от 0 до

 

2

переменного

 

з

Заменив

в заданном инте­

 

от 1 до — .

грале Г— X2 и X d x их выражениями через новое пере­ менное и изменив соответственно пределы интегрирова­ ния, можем записать решение данного примера следую­ щим образом:

1

 

 

 

3

 

 

d z \

 

 

3_

 

 

 

3

 

2

5х dx

 

Г

\

 

2 7 _

 

5

4

dz

 

T

4

 

Г

 

 

 

J

г3

 

f

 

 

J

z ~ Z d z

=

0J

(1 -.V '2)3

13

1

 

43

 

2

J

Z3

 

 

I

. \

35

5

z2

5 (

1

~ 4

 

 

5

2-2

Т

 

1

 

 

-

’l

5 /16

 

2

- 2

 

 

4

 

I

4

9

 

\

9

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

Г »3 dx

П р и м е р 2. Найти J 9 + 16.V2 • Уз

4

3

Р е ш е н и е . Вынесем множитель -тг за знак инте-

9

грала:

43

 

 

4

 

 

 

1

 

4

 

3

dx

 

3 Г

 

dx

 

ѵт

dx

 

 

3

,

j

3

 

3

9 + 16л;2 -

9

, 16

 

Г

 

Уз

 

 

УзJ

1 + т *

 

 

 

J

 

Положим

 

T

x=sZ;

 

 

 

(2)

тогда Y d x =

dz,

откуда

 

dx =

-^dz.

 

 

 

 

 

4

3 .

Находим

новыеУ зпределы:У з

zB=

 

2„ =

'

 

 

 

¥

. T =

1-

2S0

 

 

 

 

 

И Н Т Е Г Р А Л

 

 

 

 

 

[ГЛ. ХГ

Следовательно,

'

4 d

 

1

3

 

dz

 

 

 

 

V:\

d x

 

z

У ±

 

 

 

 

 

а

J+ _

+

г2

3

4

+ Z2

 

 

3

 

3

_

_1

 

 

 

 

 

9 + 16 2

1

3 j

 

 

 

3

 

 

_~ j

 

 

4

 

^

з

'yT =

Y

 

 

 

^

=

 

=

arctg z

(arctg 1 — arctg

 

 

 

 

 

 

 

” "з

 

 

 

 

~ ~ 4 \ ~ 4 ~ T j — 48 •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 I/ яЯ

 

я\\

яя

 

 

 

 

 

Упражнения

 

T

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

6"

 

Вычислить определенные интегралы:

 

 

I

X d x .

 

4

I

 

d x

 

1. I V 1 —

 

 

0

У з 7 + Т

 

fU—

 

fи

 

 

 

I

4.

. 5.

 

 

 

6. f .

—

2

( I

2 J x

)

3/

 

l

-

*

 

л_

 

 

 

J]

 

 

 

 

8.

4

s\x\2xdx,

9.

cos

 

dt.

+ 2

S- I (1— я)3dx.

 

ЗЯ

X .

 

2

 

-j A ) 2/ _я_ ( 8U

cos-r- dx.

о

10. j*3

c o s ^ ----x ^ d x .

n

9

SJI F E- '3-J

X

X 2 .

14.

vT

"• I -sfe- 12-я

1 +

dx

 

2 / 1 + A 2 '

 

 

 

 

x d x

J /1 6 + X2....

12

3A2 ЙА

17- 1

_J

15. f - 2- x d x

ie. Г-+ 2A3

-1

 

 

 

2 A dx

(2 A 2 + l ) 2

1

6 A 2

dx

 

19.

 

9

- y =

 

20.

■4

15A dx

 

 

 

 

Г

A rfA

• 1

 

(A 2 - l ) 3 *

 

1 + 2 A 3 1

 

j

 

V *

+

144

 

 

Я

 

 

— 7 dx.

 

—5

'I

 

23. JJl

 

A

dx

21. J

A

/

A 2

22.

J

(A 2 —

i) 3 A r fA .

 

A)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2yT

§ 112] ГЕО М Е Т Р И Ч Е С К И Й

СМ Ы СЛ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О

И Н Т Е ГР А Л А

281

24.

cos X dx

Г

cos X dx

26.

sin X dx

1 + sin X

J

sin3 X

cos'* X

 

 

 

л

 

6

л

з

27. J ecosx: sin X dx.

30.

ex dx

31.

ex

+

5 '

 

 

28.

J 4 sin3 x cos x dx.

 

0,4

 

•

2

 

 

dx

Y

У

dx

5

25л:2'

о

4

-

4 +

32.

 

 

29. J sin x cos2 x dx.

Ѵз

л:2

33.

dx

3 + x 2'

 

 

 

Ѵа

34.

 

 

 

dx

 

 

 

35.

J

 

dx

 

3ft

 

 

 

 

1,52

/ 9 - j t 2

’

 

V

а2 - л:2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«•

 

 

 

37,

J J^COS

X

—

cos3 X

dx.

 

38.

 

dx

 

JT

&

-

 

 

 

 

 

 

 

 

Jex + e-

 

40,

о+ДV R 2- X

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'.

-

J

112.

Геометрический

смысл

определенного

интегра­

 

R

 

§

 

ла. Пусть

 

дана

кривая, определяемая

уравнением

у

=

=

/(х),

 

причем

f(x)

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

непрерывная

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xположительная

при рас­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сматриваемых

значениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис.

118). ВозьмемОР0 —на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

точку М 0 с посто­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

янной

абсциссой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— а

 

и

точку

М,

меняю-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

висимости

 

от

изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсциссы

OP

=

X.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площадь фигуры

М 0М Р Р

0,

 

 

х.

 

будет

перемен­

называемой криволинейнойх

трапецией,Р Р

ной

величиной,

зависящей

от

 

Обозначим

ее через

S.

Дадим

аргументу

приращение

і =

Ах;

тогда

пло­

щадь 5

получит приращение AS,

равное криволинейной

Смотрите также файлы