Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 324

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

282

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

 

площади ММ\Р\Р. Проведя прямую MQ\\Ox, а также Л41 Л/ИOJC до пересечения с продолженной ординатой РМ , получим:

или,

 

 

площ. M Q P tP < AS <

площ. N M {P {P,

 

выражая

площади прямоугольников по формулам,

Но

 

 

Р М

•

РРу

<

AS <

Р хМ і

• P P ,.

 

(1)

 

 

 

 

 

 

P P {

=

А.г,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ^ і

=

f(x),

А.ѵ);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= / ( *

+

 

 

 

 

поэтому неравенства

(1)

перепишутся так:

 

 

 

 

 

f (х) Ах

< AS <

 

f (x

+

Ax) Ax.

 

 

Разделив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на положительную

полученные неравенства

 

величину Ал:, получим:

 

 

 

 

 

 

+

Ax).

 

(2)

 

 

 

 

f { x ) < j § < f ( x

 

 

 

 

 

Пусть

А х —

тогда

f(x

+

Ах)—*f (х).

Так

как

 

>0,

 

 

 

 

 

f

(

x

 

величина

д5

заключена

между

f(x)

 

 

и

Ах),

как

видно из

неравенства (2), то и подавно

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

AS

 

 

’ /(*)»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1іт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

lim

AS

 

 

Ах->0

 

 

функции

 

S; следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

-г------производная

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

dS

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- d 7 = f W '

 

 

 

 

 

(3)

 

 

от

 

 

dS =

f (х) dx.

 

 

 

 

Взяв интеграл

 

обеих

частей равенства (3), получим:

 

 

 

 

 

 

I

dS

=

J

f (х) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

S + C ^ j f(x)dx.

( 4)

§ 112] ГЕО М Е Т Р И Ч Е С К И Й

СМ Ы СЛ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е ГР А Л А

283

Пусть

F (х

) — первообразная функция для дифферен­

циала

f(x)dx,

тогда

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

j

f(x)dx =

F(x) +

C2.

Сравнив равенства (4) и (5), получаем:

(6)

или

 

 

S - f С , =

^(*) +

С 2,

■ где

 

 

 

S =

F(x) +

C,

 

 

 

 

с = с 2- с ,.

 

Для определения С положим в равенстве (6) х — а, тогда, как видно из рис. 118,

будем

 

 

площ. MQMPP0= 5 = 0;

 

 

иметь:

 

Q =

 

F(a) +

C.

 

 

 

 

Отсюда

C =

— F(a)

и

равенство

(6) перепишется так:

 

 

S

 

 

 

 

 

=

F(x) — F{a).

 

 

 

Но по определению (§ 109)

X

 

 

 

 

 

 

 

F (х) — F (а) =

аJ

f (^) dx.

 

 

Следовательно,

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

Эта

 

 

S =

аJ f(x)dx =

F ( x ) ~ F(a).

 

 

формула

определяет

переменную

MплощадьQM\P\PQ

М0М РР0.

получить

постоянную

площадь

 

 

Чтобы

 

 

в промежутке значений

х

от

а

до

Ь

(рис. 119),

нужно

 

х

Ь\

 

в равенстве

(7) положить

 

=

 

тогда площадь

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0MlP lP0=

J

f (JC)dx = F(b) — F (а).

 

 

2 8 4

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

И Л. XI

Итак,

площадь фигуры

,

ограниченной

кривой y = f(x),

 

 

 

 

ь

 

а и х = Ь,

где {

(л:) >

0,

осью Ох и двумя прямыми х

=

 

 

 

 

 

 

выражается определенным интегралом

J f (х) dx.

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

Таков геометрический смысл определенного инте­ грала.

П р и м е р . Определить пло­ щадь фигуры, заключенной ме­ жду ветвью кривой у — х2, осью

Ох и прямыми х = 0 и х = 3 (см. рис. 120, где эта фи­ гура заштрихована).

Р е ш е н и е . Искомая площадь (рис. 120):

 

 

 

 

 

о

 

Т = 9.

 

§

113.

 

 

 

IX2 dx ■

 

 

Определенныйх а Ь. интеграл

как предел суммы.

Возьмем

функцию

y = f(x),

непрерывную

в промежут­

ке значений

от до

Положим

для

простоты, что

эта

функция в

указанном промежуткеМіМгРцРиположительная

и возрастающая.

 

фигуры

 

ограничен­

Рассмотрим

площадь

 

ной

дугой

М\Мч

графика

данной

функции, прямыми

 

 

§ 1131

 

О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е ГР А Л

КАК П Р Е Д Е Л

СУМ М Ы

28 5

х =

а

и

X == b

и осью

Ох

(рис. 121).

Эта площадь

 

 

ь

.(§ П2)

 

 

S = f f ( j c ) d j c .

 

(1)

а<

Разделим отрезок

п

равных частей, каждую

Р\Р2 наЛх,

из которых обозначим

через

и в концах полученных

отрезков восставим

перпендикуляры до пересечения

с кривой.

ПроведяМ іМиз 2Рконцов2Рі

этих

перпендикуляров

прямые, параллельные оси

Ох,

мы

можем представить

 

в

площадь

фигуры

 

 

 

виде

суммы

площадей

прямоугольников

Sи суммы

площадей криволинейных

треугольников.

Обозначив

 

первую

 

сумму

через

S u

а вторую — через

2,

напишем:

S2J

 

 

 

 

откуда

 

 

5 =

5i -f-

 

 

 

 

 

 

 

S — S , = S 2.

 

 

 

(2)

Если

 

O P{ = a

 

и

OP2=

b,

 

 

TO

P lM l = f ( a )

 

и

P2M2 =

 

/(&).

 

 

286

 

 

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. XI

Пусть абсциссы

 

точек

 

 

 

N 2, N3,

. . . .

Nn-i будут соот­

ветственно

 

 

 

Х\)

Xty

#з> •••>

Хп—[у

 

 

 

 

тогда ординаты этих точек будут

 

 

 

 

 

 

Сумма

f ix

i),

 

f{x2),

f (дез), . . . .

 

 

 

,).

 

 

площадей

всех

прямоугольников

 

 

S , = / ( a ) A x +

 

/(*1)A* +

f( * 2)A* + . . .

Н -/(л:я_,)Аде;.

условимся для такой суммы употреблять запись:

где Б

 

 

 

 

 

S l =

IаInx )Ax ,

 

 

 

 

 

(3)

(сигма) — общепринятый

в

 

математике символ

суммирования.

А х -* О

 

 

п

отрезка

 

РіЯ 2

S 2

 

 

Если

число

делений

 

 

 

неограниченно

увеличивать, то

 

 

 

 

 

 

и величины Si

и

 

станут пере­

менными. Покажем,

что S 2 при

этом

условииОх,

— величи­

на бесконечно малая.ABCD,Для этого передвинем криволи­

нейные

треугольники

параллельно

 

оси

 

расположив

их в прямоугольнике

 

 

AD

основание которого

и высота

 

 

 

 

 

 

-

 

 

—

Ах

 

 

 

 

 

 

 

AB =

Р 2М2

 

 

= f ( b ) - f

(а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я,Л4,

 

 

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольника

A B CD

будет равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\f(b) - f(a)\Ax .

 

 

 

 

 

Как видно из рис. 121,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

Sa < [/ (& )- / ( а ) ] А*.

 

 

 

Если

Д х -*0 ,

 

то

[}(Ь

 

 

f(a)]Ax

 

как произведение по­

 

 

 

) —

 

 

 

 

стоянной на бесконечно малую есть величина бесконеч­

но

малая, а потому согласно неравенству .(4) S 2 также

бесконечно малая величина.

 

 

 

 

 

Таким образом, в левой части равенства (2) мы

имеем

разность между постоянной

S и переменной

Si,

а

в

правой — бесконечно

малую.

Следовательно,

по

определению предела (§ 43)

lim

Si,

 

 

 

 

S =

 

 

 

Дх-»0

Смотрите также файлы