Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 325
Скачиваний: 10
§113] О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е ГР А Л К АК П Р Е Д Е Л СУМ М Ы 2 87
или согласно равенствам |
(1) и (3) |
|
||
ь |
|
|
ь |
|
аJ[ |
f {x)dx = |
&X->0 S\f(x)Ax . |
(5) |
|
|
lim |
а |
||
Сумма, стоящая под знаком предела в равенстве (5), называется интегральной суммой.
Таким образом, определенный интеграл с конечными пределами равен пределу интегральной суммы, число слагаемых " которой неограниченно растет, а каждое слагаемое стремится к нулю.
Можно показать, что к тому же результату мы при дем, если возьмем функцию положительную и убываю щую в рассматриваемом промежутке значений х, или положительную, но на одних участках возрастающую, а на других убывающую, или, наконец, отрицательную функцию, т. е. такую, график которой расположен ниже оси Ох.
Полученный вывод показывает, что интегрирование можно рассматривать как процесс суммирования, т. е.
нахождения |
целого |
сложением его |
частей. |
В |
связи |
|||||
с этим Sинтеграл, |
и получил свое название от латинского |
|||||||||
слова integer (целый), да и |
символ |
его |
(удлиненная |
|||||||
буква |
которой |
обычно обозначается сумма) |
связан |
|||||||
с вышеуказанным |
свойством |
определенного |
интеграла. |
|||||||
В |
главе X II |
мы |
подробно |
остановимся |
на |
приложе |
||||
нии формулы |
(5). |
|
|
|
|
|
|
|
||
t
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
|
XII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 114.: ) |
|
ПРИЛОЖ ЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
|
|
|
|
||||||||||||
> Площади |
фигур. В |
§ |
1 1 2 |
мы |
|
доказали,Ь,что |
||||||||||||
если /(л |
0 |
в |
промежуткеy = f(x),значений |
Охл: от а до |
|
то |
||||||||||||
площадь фигуры, заключеннойа |
между= Ь, графиком кривой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
и |
|
х осью |
|
|
|
и прямыми |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
ь определяется |
по |
||||||||
|
|
|
|
|
формуле |
|
S = j f ( x ) |
dx. |
(О |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Можно показать,1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
что в случае |
||||||||||||
|
|
|
|
|
/ ( * ) < О |
|
формула |
( |
) дает отри |
|||||||||
|
|
|
|
|
цательное число, |
|
абсолютная |
ве |
||||||||||
|
|
|
|
|
личина |
которого |
|
определяет |
ис |
|||||||||
|
|
|
|
|
комую площадь, т. е. |
|
|
2 |
|
|||||||||
П р и м е р Ох1. |
НайтиО |
иплощадьВ |
|
J f(x)dx |
( |
) |
||||||||||||
фигуры, |
|
заключеннойу = |
||||||||||||||||
между осью4х |
и кривойОх |
у = |
х2 |
— |
4х |
(рис. |
122). |
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е . Точки |
|
пересечения |
параболы |
|
4. |
|||||||||||||
= X2 |
— |
с |
осью |
имеют |
абсциссы,Ох,равные 0 и |
|||||||||||||
Как видно из рисунка 122, искомаях = |
площадьх = 4,(она |
за |
||||||||||||||||
штрихована) |
ограничена |
Охсверху осью |
|
|
|
снизу пара |
||||||||||||
болой, слева и справа прямыми |
|
0 и |
|
от |
ко |
|||||||||||||
торых параболах |
и ось |
|
отсекают |
отрезки нулевой |
||||||||||||||
длины. Заданная функция отрицательна в промежутке |
||||||||||||||||||
значений |
от 0 до |
4; поэтому, |
|
применяя |
формулу |
(2), |
||||||||||||
290 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Я |
И Н Т Е ГР А Л А |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ГЛ. XII |
||||||||||||||||||
линий). Опустим из точки |
|
|
А |
|
на |
ось |
Ох |
|
перпендикуляр |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB. |
Он |
|
является |
|
|
отрезком |
|
|
|
прямой |
х = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОАВИскомая пло |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
щадь (рис. |
|
124) |
равна |
разностиОпгАВ,между |
|
площадями |
тре |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угольника |
|
|
|
|
и |
|
фигуры |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SomA = |
$ОАВ |
|
SomAB• |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадьу = |
|
ОАВ |
|
заключе— |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на X между |
графикомОх. |
|
функ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции = |
|
|
X, |
|
прямымиОтАВ |
|
X |
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
1 и осью |
|
|
|
у — х |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь= |
|
|
|
|
|
заклю |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чена |
междуОх. |
|
кривой у = |
X |
|
2, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
упрямыми= |
X |
|
|
|
0 |
и |
|
X |
— |
1 и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осью |
|
|
Функции |
|
|
0 |
|
|
1и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
положительны в про |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
межутке значений л: от |
|
до . |
|||||||||||||||
|
|
Следовательно, по формуле (1), учитывая равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3), |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
JI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
S 0mA |
= |
|
|
1 |
* |
dx |
— |
|
:2 dx = |
|
|
|
|
|
|
~з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.ѵ, |
||||||||||||||||
|
|
1. |
|
Найти |
|
|
площадь |
|
|
|
|
|
|
|
прямыми |
|
у |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
фигуры, |
|
ограниченной |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
у |
= |
2 и осью |
|
площадь |
|
|
фигуры, |
|
|
заключенной |
|
|
между |
|
прямыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
2. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4х |
— 5, |
X — |
—3, |
|
X |
= |
—2 и осью |
Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у — 2х2, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
Найти |
|
площадь |
|
|
фигуры, |
|
|
ограниченной |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривой у2 — 9х |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
осью |
Ох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
2 и |
х = |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
и прямыми —= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривой |
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||
|
|
4. |
Найти |
|
площадь |
9. |
|
фигуры, |
|
|
|
ограниченной |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
прямыми |
|
X |
|
= |
|
1 и |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оу |
|||||||||||
|
|
5. |
На |
|
укривой |
|
у2 |
= |
|
4х |
дана точка, ордината кривой равна 6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти площадь фигуры, заключенной между данной кривой, осью |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
прямой |
|
|
|
— |
6. |
|
Ох |
|
|
|
|
|
фигуры, |
|
заключенной между |
|
кривой |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
6. Найти |
|
|
площадь |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у |
X2 |
|
— |
X, |
|
осью |
|
|
|
|
и прямыми |
|
X |
= |
|
0 и |
X |
= |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
7. Дана кривая |
у |
= |
|
2х2 |
— |
х |
|
+ |
2. Найти |
площадь |
|
фигуры, |
за |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ключенной между данной кривой, осями координат и прямой |
|
= |
3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8. Определить |
|
площадь |
|
параболического |
сегмента, |
|
основание |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которого |
а — |
|
6, а высота |
к |
= |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ох |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
9. Найти площадь фигуры, ограниченной осью |
и |
линиями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1) |
у — 2х |
— |
X2, |
|
|
2) у — |
9 — |
X2. |
3) |
у = |
X2 |
— 5л; + |
4. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||