Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 322

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ По]

 

Найти

 

 

О БЪ ЕМ ТЕЛ

291

10.

 

площадь, ограниченную одной волной

синусоиды и

осью Ох.

 

 

 

фигуры, ограниченной осями координат и

И . Найти площадь

кривой

у =

4(1 — л:3).

 

 

 

12.

уНайти площадь, заключенную между линиями!

 

1)

=

2х — х2

и

у =

х,

 

 

 

 

 

 

2 ) y = Y x* И У= 4 ~ х'

3) X2 — 9у — 0 и X — Зу + 6 = 0,

4)4у — X 3 — 0 и у — X = 0.

13.Найти площадь, заключенную между следующими кривыми:

1)

у2 =

X

 

и

у

=

X 2,

 

 

9у +

36 = 0,

 

0 \ i t —

у 2

 

г» и —

1 _

у 2

 

 

3)

4д:2 -

 

9// +

18 =

0 и 2л:2 -

 

 

4)

л'2 +

У2

= 8 и

у2 —

2а.

 

 

 

 

§

115.

Объем

тел.

 

 

V

прямой

призмы, как

О б ъ е м

 

 

п р и з м ы . Объем

 

мы знаем

из

элементарной математики,

определяется

по формуле

 

 

 

 

 

Ѵ = а Н ,

 

 

 

где а — площадь основания призмы, Н — ее высота. Зай­

мемся выводом формулы объема наклонной призмы.а,

Возьмем наклонную призму, изображенную на

рисунке 125.

Пусть площадь ее основания равна

а вы­

сота

О 1О2 — Н.

Разделим ее высоту

на

п

частей

и про­

ведем через

точки

деления плоскости,

параллельные

основанию.

Этими

плоскостями мы

разделим

призму

на пластинки. Будем неограниченно увеличивать коли­ чество делений высоты, тогда толщина каждой пластин­

ки будет бесконечно малойbcde\biCid\e\f^.величиной и каждую пла­

стинку можно

принять

за

прямую призму. Выделим

одну из

них,

например

 

Ееп

объем

ДЕ =

— а АН,

 

АН

— высота элементарнойаА Н^*0 .

призмы,

а

—

 

А Нгде- *

 

 

площадь

ее основания. Мы

сказали, что

—>оо,

в

этом

Таким

случае

 

 

V0, следовательно,а АН,и

обра­

зом, объем

 

призмы будет

равен пределу суммы

бес­

конечно малых величин вида

т. е,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е =

П т

2яа Д Я ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д Я -> 0

о

 

 

 

 

10*

292

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. X U

или, согласно формуле

(5)

§

113,

 

V — lim

н

н

Іf

н

 

V а АН =

а dH = а f dH — аН.

 

дя-»°

о

 

 

о

 

В результате мы получили для объема наклонной приз­ мы ту же формулу, что и для объема прямой.

D,

Таким образом,

объем любой призмы равен произ­

ведению площади основания на высоту.

 

 

 

Аналогично находится

объем

Ннаклонного цилиндра.

О б ъ е м п и р а м и д ы .

Возьмем

пирамиду

с

пло­

щадью основания Q и высотой

и

разобьем

ее

на

п

 

пластинок плоскостями, параллельными ее основанию (рис. 126). Если количество этих пластинок неограни­ ченно увеличивать, то толщина каждой из них будет бесконечно малой величиной; в этом случае пластинки можно принять за призмы. Выделив одну из них, на­ пример A\B\C\D\, обозначим площадь ее основания, высоту и объем соответственно через q, Ay и Ди; тогда

Av = q Ay.

§ 115]

О БЪ ЕМ ТЕЛ

293

 

Так как площадь основания пластинки зависит от рас­ стояния 00\ = у, выразим q через у. По известной тео­ реме о свойстве сечения, параллельного основанию пи­ рамиды, можем написать:

д( Н - ѵ )1

Q

Н 2 '

откуда

q = - § r ( H - y f .

Теперь равенство (1) перепишется так:

А ѵ = - § г ( Н - у 2) ^ .

Величина At)

 

бесконечно

малая, так как Дг/->0 при

п —*

оо; таким образом, объем

и

пирамиды представится

■как предел

суммы бесконечно малых величин вида

ф(Н — у ?Ь у ,

т. е.

-£ -(Я — г

А#,

 

 

 

lim Y

 

 

 

ѵ = Ay+0-яY п

 

/ ) 2

 

или согласно формуле (5) § 113

я

V = ' - § r ( H - y f d i y .

Вычисляя этот интеграл по известным правилам, на­ ходим:

о= J (нг - М у + if) dy = -§r \H‘y - H ir +4)

- ! т ( я » - я * + - £ ) = 4 <э/л

Итак,

v = ± Q H ,

т. e. объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

2 9 4

§ В116. Объем

П Р И Л О Ж ЕН И Я

И Н Т Е ГР А Л А

 

дана

[ГЛ. ХИ

А

телаОР

вращения.= а OQ

ПустьЬ

кривая,

 

 

 

 

 

y = f(x),

и на ней две точки

определяемая уравнениемABQP

и

 

 

и

с абсциссами

 

 

=

(рис.

127). Если

вращать фигуру

 

PQ вокругп

оси Ох,

то

образуется

некоторое тело вращения.

 

равныхОх

частей,

каждую

 

Разделим отрезок

 

на

 

из которых обозначим через Дх, и в точках деления

восставим' перпендикуляры

к

оси

 

до пересечения

с кривой. Проведя из этих точек пересечения прямые, параллельные оси Ох, до встречи с соседними перпен­ дикулярами, мы разобьем фигуру A B Q P на п прямо­ угольников и криволинейных треугольников. При вра­ щении фигуры A B Q P вокруг оси Ох каждый из прямо­ угольников образует цилиндр, а сумма объемов этих цилиндров даст приближенную величину объема рас­ сматриваемого тела вращения. Подсчитаем эту сумму объемов цилиндров. Для этого возьмем один из них, на­ пример CDFE. Как видно из рисунка 127, радиусом основания этого цилиндра будет

С\С — у = f {х),

а высотой

C XD I = Дх.

Следовательно, объем указанного цилиндра равен

пу2Дх,

§ 116]

О БЪ ЕМ ТЕЛ А В Р А Щ ЕН И Я

295

 

а сумма объемов всех цилиндров будет

ь

2яу2Дх.

а

Это выражение и представляет собой приближенную величину объема тела вращения, т. е.

ь

V ^ 2а Щ 2А*.

Положим теперь, что число делений отрезка PQ не­ ограниченно возрастает; тогда Дх, а следовательно, и произведение лу2Ах будут бесконечно малыми величи­ нами.

Перейдя к пределу, получим

 

 

 

 

 

 

Дл:lint-»--0

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ѵ =

 

2а ™/2 Дх,

 

 

 

 

 

или согласно формуле

(5) § 113

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

ь

ь

 

 

 

 

 

 

 

lim

2_іЛу2& х —

 

mj2dx —

яа f

y2dx.

 

 

Поэтому

а

 

аГ

ь

 

 

 

 

Дя-Х)

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V — я J y2 dx.

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Фигура,

ограниченная

линиями

у2 = 4х,

X —

О,

X

= 4 и

у =

0,

вращается вокруг оси

Ох.

Найти

объем полученного тела (рис. 128).

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Полученное

 

тело называется параболои­

дом вращения. Согласно формуле (1) имеем:

 

 

 

 

л I

4

 

4

 

 

л^ 2х2 = л ■ 2 • 42 =

32я.

ѵ =

у2 dx = л J Axdx =

 

оо

Пользуясь формулой (1), можно вывести формулы объема конуса, шара и его частей.

Смотрите также файлы