Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 323

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

296

П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А

 

ІГЛ. XII

О б ъ е м п р я м о г о

ОкАрРу г о в о г о

к оОхн у с а .

Пря­

мой круговой конус получается от

вращения прямо-

■ угольного треугольника

вокруг

оси

(рис.

129).

Рис. 129.

Составим уравнение прямой ОА, образующей при своем вращении коническую поверхность.

Обозначив

ОР =

Н,

PA =

R,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PA

R

 

 

 

 

 

напишем искомое уравнение прямой ОЛ:

 

 

 

 

 

 

у =

kx — tg а ■ X ■■

 

OP

Н X.

 

 

 

и

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу (1), будем иметь:

 

 

 

 

 

V = я 0*J

xj dx = n-jp

0j X2 dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

-

я

R2

X

3

H

 

R2

 

H3

 

 

n2u

 

 

=

H2

 

 

— n ңг

•

3

—

3 nR H,

 

 

 

 

3

 

 

 

 

I

 

v = j n R 2H.

(2)

 

§ 116]

О БЪ ЕМ

Т ЕЛ А

ВРАЩ ЕН И Я

297

А В СООб ъ е м

у с е ч е нОхн о г о

к о н у с а .

 

Усеченный конус

можно получить, вращая прямоугольную трапецию

вокруг оси

(рис. 130).

Найдем уравнение

прямой AB, образующей коническую поверхность. Для этого положим

ОА = г,

СВ — R,

ОС = Н

и напишем уравнение AB в виде у =

kx + Ь.

Как видно из■ г, рис.

130,

AD

н

k — tga

BD

R — r

 

 

Таким образом, искомое уравнение будет:

У-

R - r

■ X +

г.

Н

Согласно формуле (1) найдем:

г] 2 dx.

ѵ — п *

 

■■■ X +

Вычислим определенный интеграл способом подста­ новки.

Положим

-

R

- r

х + г,

Н

тогда

dz =

R Н

 

dx\

 

 

- r

 

298

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. Х П

 

 

отсюда

dx ■ R - r •

 

Н dz

Новыми пределами интеграла будут:

 

Z «

Н

0 +

г = =

 

 

R - r

 

H + r =

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

тедовательно,

 

е______а8II-

R'

a Hdz

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

j (

Н

* + г)

 

Z

R - r

 

 

- г3) =

0

 

 

 

 

Г

3

 

 

 

 

 

пН

 

z3

R

пН

(R3

 

пН

 

г

3

 

( R - r )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

лН

З ( Я - г ) ( Я - г ) ( Я 2 + Я г + г 2) = ^ - ( Я 2 +

о = - ^ ( Я 2 + Яг + г2).

R .

Я г + г2),

(3)

О б ъ е м

ш а р а .

Ш ар

 

получается отR,

вращения

полукруга с центром в начале координат вокруг оси

Ох

(рис. 131). Уравнение окружности радиуса

 

представ­

ленной на

рис.

131,

имеет

 

вид

 

 

*

 

 

 

откуда

 

 

 

x2 +

y2 = R\

 

 

 

 

 

 

 

 

у2

R2

-

* 2.

 

R

 

 

 

+R

 

 

+R / =

 

 

 

 

 

 

Согласно

формуле (1.) найдем:

 

 

2 я J(R2— х2) dx

 

V = я - R

у2 dx — я

(R2— X2) dx =

-

Диаметр

яшара

D =

2R\v — ^ n R 3.R

=

и

R3 — - j - ,

(4)

 

отсюда

 

 

 

по-

4

„о

4

D 3

nD3

 

 

 

 

 

 

этому -g-

Rö —

-g- я •-g - =

—g—,

T. e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

» =

■ =£.

 

 

 

 

(4*)

Формула (4*) выражает объем шара через его диаметр.

§ 116]

 

О Б Ъ ЕМ ТЕЛ А В Р А Щ ЕН И Я

29 9

О б ъ е м

ш а р о в о г о

с е г м е н т а .

Шаровой сег­

мент можно

получить,

вращая половину кругового сег­

мента

А В С

вокруг оси

Ох

(рис. 132). Обозначив высоту

 

 

РВ шарового сегмента через Н, а радиус круга через R, получим:

К.К

п =

я J" y2dx =

n j* ( R 2 — X 2) dx = n - [ R 2x —

=

=

1]}=

=

я ( 4 g » ,

+ R 2H + - * m + a

=

— (2R3 - 3R3+ 3R2H + R3 — 3R2H + 3RH2— H2) =

 

=

(3RH2 - № ) = пН2 (R -

i - Н ),

О б ъ е м ш а р о

ОАВв о г о

с е к т о р а .Ох

Шаровой

(5)

сектор

можно представить как тело, полученное от вращения

кругового сектора

 

вокруг оси

(рис. 133). Как

видно из рисунка, объем шарового сектора равен сумме

Смотрите также файлы