Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 320

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

300 П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А [ГЛ. XII

объемов конуса О А С и шарового сегмента АВС. При­ меняя формулы (2) и (5), найдем объем шарового сек­

тора:

ѵ = = ^ п Р А 2- ОР +

л

•

РВ2(0В

 

 

)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РВ \

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

РВ = Н,

 

OB =

R;

 

 

 

тогда

 

 

 

OP =

R

 

— Я

 

 

 

 

 

 

и из

треугольника

ОАР

 

 

2

 

 

-

Я 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PA2 =

R Z - ( R -

Н)2

-

R H

 

 

 

 

 

PB,

OB,

 

 

 

 

Подставив значения

 

 

 

 

OP,

РА2

в выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

объема

шарового сектора,

получим:

 

 

 

•о = - і я

(2RH -

Н2) (-R

- Я) +

лН2

(Я - 4 “) =

 

 

 

2

я

- } я я

2

2

+

 

 

nR2H,Я 2) =

= л ( | я

 

 

- | я

я

 

| я з + я я 2- у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2H.

 

 

=

-|

6

ООх,б ъ е м

 

АшСа р о в о г о

с л о я .

 

Шаровой слой

( )

 

 

полу­

чается

в

результате

 

вращения

фигуры

A C Q P

вокруг

оси

где

 

— дуга окружности с центром

в начале

координат

 

(рис.

134).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1161

 

 

 

 

 

О БЪ ЕМ Т ЕЛ А

ВРАЩ ЕН И Я

 

 

 

 

301

 

Положим:

 

O A =

OC =

R,

 

QC

 

 

г2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PA =

r{

 

 

 

 

 

— h,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OP =

 

 

 

 

 

 

 

тогда согласно

 

 

 

,

 

 

 

 

PQ = H-,

 

слоя

 

 

 

формуле (

1

) объем

 

шарового

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OQ

 

 

 

 

H+h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H+ h

 

ѵ = л

. J*

y2dx = n'^

(R2 — X2)dx — n{^R2x

—

 

 

 

h

 

 

 

OP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-■

% •)}—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— я { [ > (ff +

 

h)

 

 

 

 

 

з т

 

 

4

 

 

- „ ( w +

m

- H’ + знѣ

+

 

+

 

-

« у

, +

 

- ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— n

3R2ff -ff3- 3 ff2h - Sffh2- h 3+

h3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= nH^R2 — h2 — Hh — j fl*).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2

Но

так

как

R2 =

r\-\- h2

(из треугольника

О AP)

и

=

+

{H

+

h)2

(из треугольника

OCQ),

то

 

 

 

 

 

 

 

r2

h)2,

 

 

 

 

 

или

 

 

r2+

+

h2 = r2 +

 

{H +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

li2 = r2 +

 

H 2 +

2Hh +

h\

 

 

 

 

 

отсюда

Hh = fг2x — r%А — Hи2

Подставив найденные значения R2, Hh в выражение объема шарового слоя, получим:

 

 

 

 

 

 

 

г2

Н2

 

 

 

 

 

 

 

v =

nH\r2 +

h.2- h

 

Гу — г2

— Н

 

 

r2

2t

_2

 

ггЗ

2'

 

 

 

 

 

 

пН

2гі —

Г2

+

г\

 

н 2-

т " ’ )

■ пН

+, Я

=

 

 

V ,

V

 

гг Г\

+

Г 2

б ,

 

 

 

 

 

 

—

 

г, +2

п ■Я'

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

ЛІІ

Г2

63

 

 

 

 

 

(7)

302

 

 

 

 

 

 

 

П Р И Л О Ж ЕН И Я

И Н Т ЕГР А Л А

 

 

 

 

 

[ГЛ. XII

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

у

=

—х

+

3, а: =

0,

х

= 3

 

1. Фигура, ограниченная прямыми

 

 

 

 

и

 

= 0, вращается вокруг

оси

Ох.

Найти объем

полученного тела

вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

 

—

и прямыми

х —

2,

х

= 3

и

у

2. Фигура ограничена кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0. Найти объем тела, полученного

 

от

вращения

ее

вокруг

оси

Ох.

 

 

 

 

 

 

 

R —

 

 

см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. От

 

шара

 

радиуса

5

 

 

отсечен

 

сегмент

с высотой

h

=

2

см.

Найти объем этого сегмента.

 

 

 

 

у

которого

 

радиус

 

 

4. Найти

объем

сферического сектора,

 

основания

г

=

3

см,

а радиус шара

R

=

5

см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с радиусами

оснований

Г\

 

5. Найти

объем

сферического

 

слоя

=

5

см

и

Гі

=

8

см

и высотой

h

=

3

см.

 

 

 

 

вращения

 

вокруг

 

 

6. Вывести

формулу

объема

эллипсоида

 

 

оси Ох.

7.Найти объем параболоида вращения, у которого диаметр основания равен 60 см, а высота равна 50 см.

8.Найти объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох

фигуры, ограниченной кривой

у

 

=

sin

х

 

и

прямыми

х —

0

 

 

 

 

 

 

 

и X = я .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ох

9. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси

фигуры,

ограниченной

осью

абсцисс

и кривой:

 

2х

—

 

 

у

 

 

—

4.

 

1)

у

=

 

X 2,

2)

=

X 2

 

10.

 

 

 

Найти

объем

тела, получен

ного от вращения вокруг оси

Ох

фи­

гуры,

ограниченной

линиями:

 

 

 

 

 

 

 

у

=

X 2

+

1

и

у =

2.

 

 

 

 

§ 117. Поверхность шара и

его

частей.

 

 

 

 

 

ш а р а .

П о в е р х н о с т ь

 

 

Покроем

всю

шаровую поверх­

ность

 

 

множеством

 

сфериче­

ских

 

треугольников*).

Соеди­

ним прямыми линиями вершины этих треугольников ме­ жду собой и с центром шара. Мы получим множество пирамид, основаниями которых являются плоские тре­ угольники. Одна из таких пирамид изображена на рис. 135. Обозначим объем элементарной пирамиды через

*) Сферическим треугольником называется фигура, образован­

ная на

сфере тремя пересекающимися

дугами большого круга.

Точки пересечения этих дуг называются

вершинами треугольника,

а дуги,

которые образуют треугольник, — его сторонами.

§ 117]

П О В ЕРХ Н О С ТЬ Ш АРА

И

Е ГО Ч АСТЕЙ

303

А У, тогда будем иметь:

(§

П5),

 

 

АУ ** j h A S

в основании,

где AS — площадь треугольника, лежащего

h

 

 

 

объем шара

— высота элементарной пирамиды. Пусть

будет Уш, а его поверхность 5. Сложив объемы всех та­ ких элементарных пирамид, получим приближенно объем шара, т. е.

 

 

 

 

 

2 i häS-

 

 

 

 

 

 

 

 

уш~ s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем

неограниченно

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

увеличивать число hтреугольников

на поверхности шара,

тогда

A S

— >-0

и

- + R

(радиус

шара). В этом случае

 

 

 

 

 

 

Js CLS =

\

R S.

(1)

Объем

шара, как известно [(4)

§ 116],

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменив в равенстве

V m= - j n R 3.

 

 

 

получим:

(1) Уш его значением,

откуда

 

-|-nR3 =

 

± R S ,

 

 

 

 

 

 

 

2R = D

S =

4

nR2.

 

 

 

 

R 2

(2)

Известно, что

 

 

(диаметр шара), отсюда

4

=

=

D2,

поэтому

 

 

S =

nD2.

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (3) выражает поверхность шара через его диаметр.

С е г м е н т н а я п о в е р х н о с т ь . Рассуждаем так же, как и при выводе формулы шаровой поверхности. Покроем всю сегментную поверхность множеством сфе­ рических треугольников и их вершины соединим между собой и с центров шара прямыми линиями. Получим множество пирамид, в основании которых лежат

304

П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. XII

 

 

плоские треугольники. Одна из таких пирамид представ­ лена на рис. 136. Объем элементарной пирамиды

ДѴ « у

А AS,

а A S — пло­

где h — высота элементарной

пирамиды,

щадь ее основания. Будем неограниченно

увеличивать

количество треугольников на сегментной поверхности, тогда A S —»-О, h —* R . Суммируя бесконечно малые ве­

личины вида

 

с

h A S,

получим объем шарового сектора:

V ш. сект

lim

 

°ш^. сегм

“о-

h

AS ——

 

 

 

 

о

j

 

 

с

 

 

 

 

A S - > 0

 

 

“

 

ö

 

 

 

°ш . сегм

 

Но"ß"

 

=

°ш . сегм

 

 

 

 

 

 

 

 

J

К6) § 116], следовательно,J dS=i-^Sm.cerM.=

V m. ceKT= - ^ n

R 2H

 

 

 

 

 

о

 

-nR2H

 

о

 

 

 

 

 

 

 

:='

R S m.

сети»

откуда

 

 

 

2 nRH,

 

(4)

 

 

 

 

 

 

S m. сегм =

-

или

 

 

 

 

 

H ,

 

гдеD

D —

диаметр

шара.

S m. сеги =

п DA B C

 

П о в е р х н о с т ь

 

ш а р о в о г о

п о я с а .

Поверхность

шаровогоА ЕВпояса

 

CED.

 

(рис. 137) можнорассматривать

как

разностьА ЕВ

между поверхностями двухCEDшаровых сег­hu

ментов:

 

и

 

 

 

 

Обозначив, высоту

шарового сег­

мента

через Я , шарового сегмента

— через

Смотрите также файлы