Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 321

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ П8]

Л УТЬ, П Р О Й Д ЕН Н Ы Й

т е л о м

305

 

высоту шарового слоя — через /г, получим:

'SLU.пояса == 5сеГМ- ЛЕВ 5сегм. CED ==

■2nRH —- 2nRhi = 2яR (Я — h{) = 2nRh,

*^ш.пояса

2TlRhj

(5)

или 5 Ш.пояса = я Dh, где D — 2R — диаметр шара.

§ 118. Путь, пройденный телом. Путь s, пройденный телом за время t в прямолинейном движении с постоян­ ной скоростью ѵ, определяется по формуле

 

Если

 

 

 

s — vt.

 

 

 

то

 

 

 

 

(1 )

 

тело движется неравномерно,

скорость

его

меняется в зависимости vот времени

t,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= f(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы найти в этом случае путь t.тела за время от

t

=

 

t\

 

 

п

до

t — t2,

разделим промёжуток

времениt

t2

—

1\

 

на

равных

и очень малых частей A

Положим, что в тече­

ние каждого

из промежутков времениt2 1\A

скорость

тела

остается постоянной, меняясь скачком в конце каждого

промежутка

Аі1. Пусть, например,

 

—

мы разбили

 

на

промежутки

At =

1 сек. Согласно

 

сделанному

допуще­

нию в

первую секунду тело движется

равномерно

 

и

в конце

ее меняет скорость, продолжая

в течение второй

секунды двигаться равномерно с полученной скоростью; затем в конце второй секунды приобретает новую ско­

рость, с которой и движется

равномерно в течение

третьей секунды й т. д.

f(t) At, а за время t2 tx

Поэтому путь тела за время

найдется по формуле

(1) и будет приближенно равен

—

путь его

 

it

 

. Будем увеличивать число делений п, тогда At, а так­ же и скачки в изменении скорости в конце каждого промежутка At будут все меньше и меньше. Если п —► оо, то А^->0, а, следовательно, и f(t)At^>0. При этом условии

306

П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А

[ГЛ. XII

скорость тела меняется уже не скачкообразно, а непре­ рывно,- и путь его будет равен:

или согласно

 

s =

lim

t,

 

 

 

 

д<-*о

 

 

формуле (5) § 113

tj

 

s =

ДlimІ-»-0

*2

 

ti

 

s = f f{t)dt.

(2 )

У

f ( 0 A/ = f f{t)dt,

 

 

‘I

 

и

I

»I

 

П р и м е р . Скорость движения тела задана уравне­ нием

V = {2t2+ t) см/сек.

Найти путь, пройденный им за 6 сек от начала дви­ жения.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (2) имеем:

G

*=.о|Ѵ -и>‘«=(4'з+-И|'

- | - 6 3 + Y - 6 2= 162 с м .

Уп р а ж н е н и я

1.Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле

V = 9,8* м/сек.

Какой путь пройдет тело за первые 10 сек падения?

2.Найти формулу пути падающего тела в пустоте, если ско­ рость его падения

о= gt м/сек.

3.Скорость движения тела определяется по формуле

 

V —

(3*2 —

2t)

см/сек.

Какой путь тело пройдет за

5

сек

от

начала движения?

4.

Скорость движения тела

 

 

 

 

 

о =

 

^4*— p -j

см/сек.

Определить путь его за третью секунду.

5.

Два тела начинают движение одновременно из одной и той

же точки: одно со скоростью

 

 

 

 

 

V = З*2 м/мин,

§ 1191

РА Б О ТА СИЛЫ

307

другое со скоростью

о = 2/ м/мин.

На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если они движутся по прямой линии в одном направлении?

6. Два тела движутся по одной и той же прямой линии: одно со скоростью

о = (З/2 + 2/) м/сек,

второе со скоростью

о = (8/ + 10) м/сек.

Если в начале движения они были вместе, то когда и на каком расстоянии от начала движения они опять будут вместе?

7. Найти путь, пройденный телом от начала движения до оста­ новки, если скорость его определяется по формуле

 

8.

 

V = (6/ — 2/2) см/сек.

 

Камень брошен с земли вертикально вверх. Найти наиболь­

шую высоту подъема камня, если скорость его

 

9.

 

V = (19,6 — 9,8/) м/сек.

 

Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью

20

м/сек.

На какую наибольшую высоту он поднимется?

 

 

 

 

 

 

 

 

F\

 

 

 

 

 

 

 

§ 119. Работа силы. Пусть тело движется по прямой

линии под действиемО

постояннойД

силы В

 

тогда

работа

 

 

--------- 1--------------- 1---------------- 1------

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

138.

 

 

 

 

 

 

 

 

Р,

X,

 

силой

на

пройденном

пути,

рав­

 

совершаемая этой

ном X

 

P =

Fx,

 

 

 

 

 

Р (

1

)

найдется по формуле

F

— в килограммах,

а

 

где

 

выражается в метрах,

 

—

в килограммометрах.

тела

происходит

под

действием

 

Но

если движение

переменной силы, то ее работа определяется сложнее. Выведем формулу для этого случая.

Допустим,

что тело, находящееся

в точкеF,О в состоя­

нии покоя,

начинает двигаться

по прямойх,

линии

(рис. 138) под действием переменной силы

изменяю­

щейся в зависимости от пройденного пути

т. е.

 

F = f(x).

308

 

 

 

 

 

П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т Е ГР А Л А

 

 

 

 

[ГЛ. XII

Пусть

 

в Анекоторые

моменты

времени

 

телооказалось

в точках

 

и

В,

причем

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОВ — Ь.

 

 

 

 

 

 

Покажем,

 

 

 

ОА — а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как определить работу, совершаемую данной

силой на Ах.отрезке пути

AB =

 

b

—

а.

 

 

 

 

 

 

Для этого разобьемАх

его на

п

равных

и очень малых

отрезков

 

 

Положим, как и в задачеАх.

§

118, что на ка­

ждом

отрезке

сила

остается постоянной,Ах

изменяясь

скачком в концеf(x)Ax',каждого отрезка

Тогда

по

форму­

ле (1) работа силы на отрезке пути

 

будет

прибли­

женно

 

равна

 

 

 

работа

 

же силы

на

всем

пути

AB — b

—

а

 

 

 

 

 

 

ь

 

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ~

 

 

f

Ах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

число

делений

 

п

неограниченно

увеличивать,

то Ах, а следовательно, и

f(x) Ах

станут

бесконечно

ма­

этом

 

 

лыми

величинами.

При

 

 

 

условии

сила

будет

ме­

няться не скачками, а непрерывно, и искомая работа ее будет равна

 

ь

Р ~

Д limх - >2а if(x)Ax,0

или согласно формуле (5) § 113

ьь

 

 

Р =

lim

y \ f ( x ) A x —

 

f{x)dx,

 

 

 

 

 

а

b

 

а f

 

 

 

 

 

дх-*о ^

 

 

J

 

(2)

 

 

 

 

P =

\ f { x ) d x .

 

 

 

 

 

 

 

а

кГ

 

 

 

 

П р и м е р 1.

Сила

в

1

растягивает пружину на

3

см.

Какую работу она при этом производит?

 

 

Р е ш е н и е .

По закону

Гука

сила пропорциональна

растяжению или сжатию пружины, т. е.

 

F = kx,

где X — величина растяжения или сжатия ее, а А — коэффициент пропорциональности.

§ 1191-

РАБ О ТА СИЛЫ

309

 

 

Чтобы найти значение k для нашей задачи, подста­ вим данные величины в уравнение, выражающее закон Гука, получим;

откуда

1 =

/е . 0,03,

k

1

1

 

 

0,03

Следовательно, сила, растягивающая нашу пружину,

выразится в следующемF

виде:

Хш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,03

 

 

 

 

 

 

Ьна­=

 

Так как сила начинаета =действовать на пружину,

ходящуюся в состоянии покоя, то нижний предел инте­

грала

в формуле

(2)

 

0,

верхний же

предел

 

 

=

0,03. Следовательно, искомая работа будет:

 

 

 

 

 

0,03

1

Х аХ

\

X 2

0,03

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

,

0,03

2

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,03

 

 

2

~ ~

2

=

0,015

кГм.

 

П р и м е р

2.

 

 

0,03

0,03г

_

0,03

 

 

 

В цилиндрическом

сосуде

заключен

атмосферный

воздух,

объем которого

Оо =

0,1

мг.

 

Ци­

 

 

линдр помещен в среду меньшей плотности, благодаря чему воздух в цилиндре расширяется, выталкивая пор­ шень. Вычислить работу, совершаемую воздухом при расширении его до объема щ = 0,2 м3. (Температура воздуха поддерживается постоянной.)

Р е ш е н и е . Как известно, объем газа, помещенного в закрытый сосуд, и производимое им давление при по­

стоянной

температуре связаны формулой

(закон Бой­

л я — Мариотта)

 

рѵ — k,

 

 

 

(3)

где

k =

const. Для решения задачи будем

 

рассуждать,

как и в случае вывода формулы (

2

).

 

 

 

По мере выталкивания поршня сила давления воз­

духа на

поршень

меняется. Разобьем весь

путь движе­

ния поршня на

п

очень малых отрезков

Ах

и будем счи­

 

 

тать, что на каждом из этих отрезков давление воздуха

Смотрите также файлы