Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 319
Скачиваний: 10
310 |
П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т ЕГР А Л А |
[ГЛ. XII |
постоянно, изменяясь скачком при переходе от одного отрезка Ах к следующему за ним. В таком случае ра бота силы давления на отрезке Ах будет приближенно равна
pS Ах, |
(4) |
где р — давление воздуха на единицу площади, а 5 — площадь поршня. Приняв во внимание, что
S Ах — Аѵ (по формуле объема цилиндра),
Р = ^ (из равенства (3)),
выражение (4) можно представить в виде
Складывая элементарные работы вида k-— , получим
приближенную работу силы давления воздуха при из менении его объема от ѵ0 до ои т. е.
»I
При |
п —► оо |
|
|
|
|
|
ив |
|
|
0 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵо |
|
|
|
|
|
|
|
|
или согласно формуле (5) § 113 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Р = |
|
k — |
= k |
Г ——= |
k\n V Ѵ' |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
V[ |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J |
|
|
J |
V |
|
= |
|
(In o, — In a0) = |
|
In — • |
|
(5) |
|||||||
Q |
|
|
VO |
|
|
k |
k |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
Vo |
|
|
Для определения множителя |
|
|
примемкГ/м2.во внимание, что |
||||||||||||||||
в начальный момент |
объем |
|
воздуха |
равен |
0 , 1 м3 |
и |
да |
||||||||||||
вление его |
нормальное, |
т. е. |
|
10 330 |
|
|
Подставляя |
||||||||||||
эти величины в равенство |
(3), найдем: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
k |
= |
10 330 -0,1 = 1033. |
|
|
|
|
|||||||||
Заменив в |
равенстве |
|
(5) |
k, |
|
Uj |
|
и |
ѵ0 |
их значениями, |
по |
||||||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кГм. |
|||
Р — |
1033 • ln-jjy = |
1033-ln |
|
2 |
= 10 3 3 -0,693 « 7 1 6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
§ П 9 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАБО ТА |
|
СИЛЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
311 |
|
||||||||
|
|
|
1. Сила в |
6 |
кГ |
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
8 |
|
см. |
Какую |
работу |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
растягивает |
пружину на |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
она производит? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
см, |
2. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины иа |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
если для сжатия ее на 1 |
см |
нужна сила в 1 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
кГ. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
см? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
|
|
|
|
|
Пружина |
|
растягивается |
на 6 |
см |
под действием |
силы |
в 3 |
|||||||||||||||||||||||||
Какую |
|
работу она |
производит, растягивая ее на 10 |
|
|
|
|
|
|
|
см, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. |
|
Найти |
работу, производимую |
при сжатии пружины на 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
|
|
известно, |
что |
для |
сжатия |
|
ее |
|
на |
|
0,5 |
|
см |
|
нужно |
приложить |
|
||||||||||||||||||||||
силу в |
|
1 |
кГ. |
|
|
кГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см. |
|
|||||||||
|
|
|
5. Сила в 6 |
достаточна, чтобы растянуть пружину на 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Первоначальная длина пружины |
14 |
см, |
|
Какую работу нужно совер |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
шить, чтобы растянуть ее до 20 |
см? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см? |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
6. Растягивая пружину на 4 |
|
|
|
произвели |
|
работу |
в |
|
10 |
кГм. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Какая |
|
работа будет произведена |
при растяжении пружины на 10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7. Чтобы |
растянуть некоторую |
пружину |
на |
|
2 |
|
см, |
нужно |
про |
|
|||||||||||||||||||||||||||
извести |
|
работу |
|
в |
20 |
кГм. |
Насколько |
можно |
растянуть |
|
пружину, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
затратив работу в 80 |
кГм? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
8. Пружина в спокойном состоянии имеет |
длину |
20 |
Груз |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
10 |
|
кГ |
растягивает |
ее |
на |
2,5 |
см. |
Какую |
работу |
надо |
совершить, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
чтобы растянуть ее от длины в 25 |
см |
|
до длины в 35 |
см? |
|
|
|
I |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9. Чтобы растянуть металлический стержень от длины |
до |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
I + X, |
|
необходимо затратить силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
k |
— постоянная |
|
величина. |
|
Вычислить |
|
работу, произведенную |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
силой при удлинении стержня от длины / до |
|
1\. |
|
т |
|
|
|
см? |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
10. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 |
на |
1 |
см. |
Какую |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 |
|
|
|
(Сила |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
деформации пропорциональна величине деформации.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11. Два |
электрических |
заряда |
е, = |
+100 |
|
электростатических |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
единиц |
|
|
и |
е2 = |
+50 |
|
электростатических |
единиц закреплены |
непо |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
движно |
|
на расстоянии |
10 |
см |
|
один |
от |
другого. Какую |
работу |
со |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
вершитF,сила |
отталкивания |
зарядов, |
если |
заряд е2 освободить и он, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
перемещаясь, |
удалится |
на |
расстояние 50 |
см |
от |
е,? |
|
(Сила |
отталки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
вания |
|
|
|
|
действующая |
на |
перемещающийся |
|
заряд |
|
е2, |
определяется |
|
|||||||||||||||||||||||||||
по закону |
Кулона |
|
|
|
|
с |
__ |
|
е 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
г |
— расстояние между зарядами.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
12. |
В |
цилиндре |
заключен атмосферный воздух, объем которого |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
равен |
|
0,3 |
м3. |
Цилиндр помещен в среду меньшей плотности, бла |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
годаря чему воздух расширяется, выталкивая поршень. Вычислить |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
работу, произведенную воздухом при расширении |
|
его |
до |
объема |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,9 |
м3. |
|
(Температура |
|
воздуха |
поддерживается |
постоянной.) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13. В цилиндрическом сосуде заключено 0,1 |
м3 |
атмосферного |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
воздуха, температура |
которого |
и |
поддерживается |
постоянной. Воздух |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
этом |
|
сосуде |
|
расширяется |
|
|
выталкивает |
поршень. |
До |
какого |
|
||||||||||||||||||||||||||||
312 |
П Р И Л О Ж ЕН И Я И Н Т ЕГР А Л А |
[ГЛ. XII |
|
объема воздух расширится, если произведенная им работа равна 2600 кГм?
14.В цилиндре с подвижным поршнем заключен атмосферный воздух. Объем цилиндра равен 0,2 лі3. Поршнем воздух сжимается до объема 0,06 м3. Найти работу, произведенную силон давления воздуха, если температура воздуха поддерживается постоянной.
15.В цилиндрическом сосуде с объемом ѵ0 — 0,1 м3 заключен атмосферный воздух, который подвергается сжатию вдвиганием
поршня. Какую работу необходимо затратить, чтобы сжать воздух в сосуде до объема оі = 0,04 .я3, если температура воздуха поддер
живается постоянной? |
в некоторой среде прямолинейно |
по закону |
||
|
16. Тело движется |
|||
5 = |
t2. |
Сопротивление |
среды пропорционально квадрату |
скорости |
|
||||
движения. Найти работу, производимую сопротивлением среды при передвижении тела от х = 0 до s = а.
§ 120. Работа, совершаемая при поднятии груза. Из физики известно,- что при поднятии груза на некоторую высоту совершается работа, равная произведению веса, выраженного в килограммах, на высоту подъема, выраженную в метрах. При этом сама работа измеряется в кило граммометрах. Решим несколько
задач.
З а д а ч а 1. Из цилиндрического бака нужно выкачать воду, напол
няющую бак |
до края. RКакая= |
|
рабо |
||
та при этомН |
совершается,м? |
еслим,ра- |
|||
риус основания |
бака |
0 , 6 |
а |
||
высота его |
= |
3 |
|
подня |
|
Р е ш е н и е . |
Если бы мы |
||||
ли на некоторую высоту бак вместе с водой, то работу, необходимую для этого, нашли бы легко простым умножением веса
груза на высоту подъема. Но работа, совершаемая при выкачивании жидкости, определяется сложней, так как жидкость в этом случае поднимается не вся сразу, а по частям, слоями, причем высота подъема у разных слоев жидкости разная.
Для решения задачи разобьем цилиндр плоскостями, параллельными его основанию, на тонкие слои (рис, 139), Выделив один из них на глубине
ООі = у