Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Р е ш е н и е . Как

и в первой за­

даче,

разобьем

конус

на

тонкие

слои и каждый0 \ — уиз них примем за

цилиндр. 0Выделим

один

из

них на

глубине

(рис.

140).

Обо­

значив

толщину

выделенного

слоя

иу

его

объем

соответственно

через

°г

А

и Ди, напишем:

2

А

у

м3.

( )

Рис.

140.

Аи =

я •0 [ß

2

у,

0 20 tB

Выразим

0 {В

через

из подобия треугольников

и

ОгОА

имеем:

0 В

О^О

I

’

откуда

~

1

О Т — 0 20

-§£r ( ° 20 -

0 0 l) =

4 ( H - i , ) .

0 , B = - g j r - 0 *0, =

Работа

АР, AQ = 1000

(Я -

у)2 Ау

кГ.

совершаемая при

поднятии воды весом

в A

Q кГ

на высоту

0\0 — у,

выразится так:

-jp; у{Н

у)2 Ау кГм.

АР

= AQ • С^О = ЮООя

—

/1

1ОООя

у {Н — y)2dy =

P = j

+

=

л

Ji­

—2 Ни3

V' \

н

= .o o o » J l ( Ä

з

4 ;

о

250яЯ2Я 2.

ЮООяЯ2

Я 4

2Я 4 ,

Я 4

ЮООяЯ2

(

Я 4

—

я

'I\

Rз3 + 4 ;

Я

12

2

2

1

их

2

или после замены

и Я

значениями

л

250я • 0,92.- З2

г п - с

п

607,он

кГм.

Р

= -------- ^-------=

1. Бак с

Упражнения

см

X

80

см

и высотой,

прямоугольным основанием 50

равной

60

см,

наполнен

водой.

Какую работу нужно

совершить,

чтобы выкачать всю воду из бака?.

D —

см

2. Цилиндрический сосуд с диаметром основания

50

и

высотой

Я =

70

см

наполнен

водой. Какую

работу

нужно

произ­

вести, чтобы выкачать всю воду из сосуда?

R — 2 м

3. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать

керосин,

наполняющий

цистерну

с

радиусом

основания

и высотой Я =

3

м.

(Удельный вес керосина

d

=

0,8.)

м

4. Какую работу нужно затратить, чтобы поднять всю воду из

цилиндрической

цистерны с диаметром 2 л

и

глубиной 4

на

вы­

соту 15

м

над верхним краем цистерны?

сечения

Г/см3,

5. Канат

длиной

50

м,

площадью поперечного

2

см2

изготовленный

из

материала,

плотность

которого

6,4

6. Резервуар конической формы с вершиной, обращенной книзу,

наполнен

водой. Какую работу нужно

совершить,

чтобы

выкачать

из него всю воду, если радиус основания

конуса

R

=

50

см,

а

вы-'

сота

Н

=

1 лі?

м,

MR

7. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песку

конической формы, радиус основания которой 1,2

а

высота

1

(Удельный

вес песка 2

Г/см3;

песок

поднимается

с

поверхности

земли.)

конуса,

наполнен

8. Резервуар, имеющий форму усеченногоR

водой. Какую

работу нужно

произвести,

чтобы выкачать

из

резер­

вуара всю воду, если радиусы его

оснований

=

2

м

и

г

=

1

м,

а высота

Н

=

3 лі?

I =

м

9. Из

шахты глубины

100

надо

поднять

клеть

весом

Q =

1000

кГ,

которая висит

на

канате,

намотанном

на

барабан.

Вычислить

работу, необходимую

для

поднятия

клети,

если

вес

одного погонного метра каната

q — 2 кГ.

R

м.

ла,

10. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из кот­

имеющего

форму полушара,

радиус

которого

=

3

Н

11. Котел имеет форму параболоида

вращения

глубиной

=

= 0,5

м

и с радиусом основания

R

= 0,4

м.

Найти

работу,

которую

нужно затратить на выкачивание во­

ды

из наполненного

доверху

котла.

§

121. Давление жидкости.

2 0

З а д а ч а

1.

Прямоуголь­

наясмпластинка

с

размерами

ду

X 30с,и погружена в во­

так,

что

меньшая

сторона

ее лежит на поверхности воды,

а

большая

занимает

верти­

кальное

положение.

Найти

давление водыA B C Dна

пластинку.

Р е ш е н и е .

Пусть

данная

пластинка

расположе­

на,

как

указано

на

рис.

141,

где

MN

— поверхность

во­