§ 121] |
Д А В Л Е Н И Е |
Ж И Д К О С Т И |
319 |
откуда |
Ьс= І 2 |
0 |
|
3 |
|
|
, |
9 |
|
= |
|
|
|
|
|
Т S'- |
|
Теперь равенство (4) перепишется так: |
(5) |
№ = 13,6 • |
у (у + |
3) Ду = |
10,2 (у2+ 3у) Ду. |
Давление (в граммах) на каждую из остальных поло сок будет определяться равенством (5), в котором у принимает значения в границах от 0 до 12. Суммируя все эти давления, мы получим величину давления на пластинку АВС, приближенно равную
При |
|
|
|
2о |
1 0 , 2 (у2+ |
Зу) Дг/. |
делений |
пла |
неограниченном |
увеличении числа |
стинки |
А В С |
искомая |
величина12 |
давления |
на нее |
будет |
|
12 |
равна |
|
У |
10,2(? /2 + |
Зг/)Д^ = |
|
10,2 (у2 + |
Зу) d y = |
|
Р = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
10,2 (576 + |
|
216) = |
1 0 , 2 |
•792 = 8078,4Г ~ 8,08 кГ. |
|
|
1. Найти |
давление |
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
воды, |
наполняющей аквариум, на одну из |
его стенок, имеющую длину 60 |
см |
и высоту 20 |
см. |
аквариума, |
напол |
|
|
2. |
|
Найти |
давление |
воды на |
|
боковые |
стенки |
ненного |
водой |
до |
высоты |
0,5 |
|
м, |
если |
дно |
имеет |
размеры |
1,2 |
м |
X |
1.3 |
м. |
|
|
|
|
|
м |
|
|
м, |
|
|
|
|
|
|
ную |
3. Найти давление воды на вертикально стоящую прямоуголь |
пластинку с |
размерами 3 |
|
|
X |
2 |
|
если |
ее |
большая |
сторона |
вертикальна, а меньшая на 1,5 |
м |
ниже поверхности воды. |
|
отвер |
|
|
4. |
|
В боковой |
стенке резервуара имеется |
прямоугольное |
стие |
с |
размерами 60 |
см |
.X 40 |
см. |
С какой силой вода прижимает |
клапан, |
закрывающий |
отверстие, если |
большая |
сторона прямоуголь |
ника горизонтальна и расположена |
на 2 |
м |
ниже поверхности воды? |
|
|
5. |
|
Пластинка |
в виде ромба со стороной 5 |
см |
и одной |
из диаго |
налей |
|
8 |
см |
|
погружена |
вертикально |
в |
воду. Найти давление воды |
на эту пластинку, |
если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
сторона ее лежит иа поверхности воды; |
|
|
|
|
320 |
|
|
|
|
|
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Я И Н Т Е ГР А Л А |
|
|
|
|
[ГЛ. XII |
2) верхняя сторона ее лежит |
|
|
на |
2 |
см |
ниже |
поверхности |
воды. |
|
|
|
|
|
|
6. Пластинка |
в |
виде треугольника, основание |
которого |
2 |
см, |
а высота |
1,5 |
см, |
погружена |
вертикально в |
воду. |
|
Наіітн давление, |
испытываемое этой пластинкой, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) вершина ее лежит на поверхности воды, а основание парал |
лельно ей; |
|
|
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) вершина лежит на 0,5 |
ниже |
поверхности воды, а основа |
ние параллельно ей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Показать, что если треугольная пластинка погружена в воду |
вертикально так, |
что ее основание находится на |
поверхности |
воды, |
то сила |
Р |
давления воды на пластинку выразится формулой |
|
|
|
|
|
|
|
где S8 |
— площадь пластинки, Іі — ее высота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н — |
. Стакан цилиндрической формы наполнен маслом. Вычислить |
давление |
масла |
на |
боковую |
поверхность стакана, |
если его высота |
|
|
|
11 |
см, |
радиус |
основания |
R — |
4 |
см. |
|
|
|
вес масла |
d —0,9. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н Удельный |
|
|
|
|
9. Вычислить давление ртути, наполняющей стакан, на его боко |
вую |
поверхность, |
если высота стакана |
= |
8 см, |
радиус основания |
|
|
см |
|
= |
|
3,5 |
см. |
Удельный вес ртути |
d |
= |
13,6. |
|
|
на |
вертикальном |
|
|
10. Круглый иллюминатор диаметром 30 |
|
борту судна наполовину погружен в |
воду. |
Найти |
давление |
воды |
на погруженную часть иллюминатора. |
|
поперечным |
сечением |
кото |
|
|
11. |
Горизонтально лежащая |
труба, |
рой |
является круг |
диаметром |
6 |
|
м, |
наполовину |
наполнена |
|
водой. |
|
|
|
|
|
Найти давление воды на вертикальную заслонку, закрывающую
трубу. |
|
|
|
давление |
воды на плотину, |
м, |
|
|
|
|
м, |
а |
12. Вычислить |
имеющую |
форму |
трапеции, |
верхнее |
основание |
которой |
равно |
6,4 |
|
нижнее |
4,2 |
|
|
высота 3 |
м, |
если вода доходит до верха плотины. |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Передняя |
часть дамбы имеет |
форму |
параболы |
с вершиной |
внизу. Основание |
дамбы |
a = |
3,2 |
м, |
высота |
ее |
h = |
|
1,6 |
м. |
Опре |
|
|
|
|
|
делить давление воды на дамбу, если вода доходит до ее верхнего
края. |
|
|
см, |
|
см, |
|
14. |
На какой |
глубине нужно провести |
горизонтальную |
линию |
на стенке аквариума, имеющего длину 60 |
|
а высоту 25 |
|
чтобы |
давления на нижележащую и вышележащую части стенки были равны?
ДИ Ф Ф |
|
|
Г Л А В А XIII |
|
|
|
|
ЕРЕНЦИ АЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ |
§ 122. Общие понятия. Дифференциальным уравне |
нием называетсяxdy = 2ydxуравнение,у' =содержащее4х |
производные |
от искомой функции или ее дифференциалы. Так, на |
пример, |
|
|
|
или |
— дифференциальные |
уравнения. |
|
|
х, |
|
|
|
|
Решить дифференциальное уравнение, значит найти |
такую функцию |
от |
|
которая удовлетворяету. |
данному |
уравнению, т. е. обращает это уравнение в тождество |
при подстановке ее в уравнение вместо |
|
диффе |
ренциальнымУравнение,уравнениемсодержащеепервогопроизводныепорядка.или дифферен |
циалы не выше |
первого порядка, |
называется |
|
Дифференциальные уравнения имеют большое при менение в геометрии, механике, физике и других дис циплинах, а также в технике.
Пример решения дифференциального уравнения мы имели в § 107, отыскивая уравнение кривой по задан ному угловому коэффициенту касательной. В резуль
тате решения дифференциального уравнения |
|
|
|
|
4 L = 2X |
|
|
|
О) |
|
|
dx |
|
|
|
|
мы получили выражение |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
которое |
|
у = |
х? + |
С, |
|
|
|
|
1носит название |
общего решения |
дифференци |
ального |
уравнения. |
Подставив |
вместо |
х |
и |
у |
соответ |
ственно |
и 3, мы нашли =выражение |
|
|
|
|
|
|
У |
х 2 + |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
322 |
|
Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е |
У Р А В Н Е Н И Я |
ІГЛ. XIII |
называемое |
частным |
решением |
дифференциального |
|
|
1 и |
|
3 называются |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
Данные значения |
х = |
у — |
на |
чальными |
*)условиями.. |
|
условия |
|
|
|
|
Начальные |
задаются |
для того, чтобы из общего решения дифференциального
уравнения получить его частное решение. |
2 |
уравне |
Правильность |
решения |
дифференциального |
ния легко проверить, подставив выражение |
( ) |
в урав |
нение (I). В результате получим:2х, |
|
|
|
d - 2 |
+ С) |
|
|
|
или |
(л |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx. |
= 2х, |
|
|
т. е. |
2х dx |
|
= |
|
|
2х = |
|
2 л:, |
|
|
что говорит о правильности решения уравнения ( 1 )'.
§ 123. Дифференциальные уравнения первого поряд ка с разделяющимися переменными. Если каждая часть дифференциального уравнения представляет собою произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в уравнении разделены; например, xd x = у dy. В этом случае уравнение можно интегрировать почленно.
Уравнения, в которых переменные разделяются, на зываются дифференциальными уравнениями с разде ляющимися переменными.
Для того чтобы решить дифференциальное уравне ние с разделяющимися переменными, нужно произве сти разделение переменных, а затем взять интеграл от
обеих частей уравнения. |
xd y |
|
у dx, |
|
X = |
Рассмотрим—несколько примеров. |
= |
|
если при |
|
П р и м е р у |
1. Решить уравнение |
|
|
|
5 будет |
10. |
|
|
|
|
*) Общее решение дифференциального уравнения всегда содер жит произвольное постоянное С, в частном же решении это по стоянное Заменено определенным числом.
