Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 316

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 123] Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П ЕР В О ГО П О РЯ Д К А

323

Р е ш е н и е . Для

 

ху,

 

разделения переменных обе части

уравнения поделим

dy ___ dx

 

получим:

на произведение

 

Интегрируя обе части последнего уравнения, найдем:

Г

dy

Г

dx

 

J

у

J

X

’

или

 

1

+

1

ln I г/| =

п| х|

п |С |.

В правой части прибавлено

постоянное в виде In | С|

для облегчения потенцирования. Освобождаясь от сим­

вола логарифма, т. е. потенцируя, получим:

\у\ — \Сх\,

или

у — ± С х .

 

 

Общее решение исходного уравнения можно написать

просто в виде

С

 

у =

Сх

 

 

(знаки ±

можно

 

 

так как

наличие произволь­

опустить,С

ного постоянного

 

их

хнеявно учитывает!)у =

. Для опре­

деления

постоянного

 

подставим

в полученное реше­

ние начальные условия

=

5 и

10, что дает

откуда

 

 

 

10 =

5С, .

 

 

С = 2.

Следовательно, искомое частное решение будет:

у — 2х.

Таким образом, из всех прямых (семейства пря­ мых), проходящих через начало координат, мы выде­ лили одну, на которой лежит точка с координатами (5; 10).

П р и м е р 2. Решить уравнение ~ — 2 {у — 3), если

при X = 0 будет у = 4.

Р е ш е н и е . После разделения переменных получим:

_Ак— —2 dx

у — з — * ах>

И*

324

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ІГЛ. XIII

отсюда

J у - і ~

JГ 2

d x,

 

или

ln I у — 3 I =

2 .1C+

ln| С |.

 

 

 

Для потенцирования нужно и правую часть по­ следнего равенства написать со знаком логарифма. Со­ гласно определению логарифма имеем:

2х = In е~х)

следовательно,

общее

 

решение

можно

переписать

в виде

 

 

1n I г/ — 3 I = 1n е2* +

1п|С|;

 

 

 

отсюда, потенцируя, получаем:Се-Х.

 

 

 

 

Находим значение

С

у

— 3 =

 

 

х = 0

и

у —

4;

сделай

 

 

 

 

из

условия

 

 

подстановку, получим:

 

 

 

 

 

 

С ■ 1,

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

4

— 3 = С •е° =

 

 

 

 

у —

3 =

е2*,

илиу =

С =

1.

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

е2х +

3.

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

шар, имеющий

в на­

 

3. Металлический

чале

опыта

температуру

1 2

°,

охлаждается

струей воды

температуры

0°. Через

8

мин

шар охладился до темпе­

 

 

 

ратуры 9°. Считая скорость охлаждения пропорцио­ нальной разности между температурой тела и темпера­ турой охлаждающей среды, найти:

1 ) в течение какого времени шар охладится до тем­ пературы 7°?

2) какова будет температура шара через 30 мин

 

t

 

 

 

 

после начала охлаждения?

через

7' температуру

шара,

Р е ш е н и е .

Обозначим

dT

 

протекшее

после

начала опыта,

тогда

через — время,

скорость охлаждения шара будет равна производной

—fij . Согласно условию

^ r = k(T ~ 0 ) = kT,

§ 123] Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О Р Я Д К А 325

где k — коэффициент

пропорциональности. Разделяя

переменные, получим:

dT

k dt,

откуда (здесь

 

> О,

— =

и л

Т

 

 

поэтому знак абсолютной вели­

чины под логарифмом опускаем)

ln Т = kt + ln С,

или

ln Т — \nekt +

In С,

или, наконец, после потенцирования

 

Т = Сеы.

(2)

Чтобы найти постоянные величины С и k, восполь­ зуемся данными задачи:

при

t =

0

температура

шара

Т =

12°,

» t =

8

»

»

Т =

9°.

 

 

 

 

Заменяя в равенстве (2) t и Т их значениями, получим:

. 12 = Се° и 9 = Се8*.

Из первого равенства имеем С =

12, а из второго

е8* = 0,75.

(3)

Для нахождения ек извлечем из обеих частей равен­ ства (3) корень восьмой степени:

 

е* =t

 

8

 

1

 

 

 

Возведем

/ 0 ,7 5

= (0,75)8. .

 

равенства:

в степень

обе части полученного

 

 

,kt

 

 

 

 

 

Подставив

 

 

— (0,75)8.

С

и

ем

найденные

в равенство (2)

вместо

 

 

их значения, получим:

 

12 •(0,75)8.

 

 

 

(4)

 

Т =

 

 

 

 

 

 

Чтобы ответить на первый вопрос задачи, пролога­

рифмируем по основанию 10 равенство (4);

 

 

lg Г =

 

lg 12- f | lg 0,75

 

 

(5)

326

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ, х ш

и положим в полученном равенстве

Т

=

7:

 

откуда

 

 

lg

7 =

lg

12

+

1

lg

0,75,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t_ 8 (lg 7 -

lg 12) _

8 (0,8451 -

1,0792) _

 

 

15 •М И Н .

 

lg 0,75

 

 

 

Г.8751

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

—8*0,2341

_

1,8728

Для

ответаt на второй

 

— 0,1249

— 0,1249

вопрос

задачи

положим в ра­

венстве (5)

=

30:

 

 

1,0792 +

 

* Г,8751 =

 

lg Г =

lg

1 2

+

lg 0,75 =

 

 

=

1,0792 +

( -

0,1249) =

1,0792 -

0,4684 =

0,6108,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а* 4°.

У п р а ж н е н и я

Найти частные решения уравнений:

1.

ds — (41 — 3) dt,

 

 

2.

dx

(2t2 -

5) dt,

 

 

 

= —

dy,

 

 

 

3.

X dx

 

 

 

4.

x d x =

y dy,

 

 

=0,

5.

x2 dx +

у dy = 0,

6.

( t - l ) d t

+

sds =

7.

2dlJ

 

dx

= 0 ,

У

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

^2x +

^у

ds,

0,

 

 

 

s

dt =

t

 

 

 

9.

2

=

 

0,

-

10.

X 2 dy — y2 dx —

 

11.

X 3

dy =

y3 dx,

 

„ і а - , + л

13.dy + X dx — 2 dx,

14.X 2 d y — —^ ißdx —0,

15.( / + \)dx = 2xdt.

16. Y x d y — Y y d x = 0,

если при / = о если при /== 1 если при х = 1 если при х = 2 если при х = 0 если при t = 2

если при X = 1

если при х = 0

если при t = 1 если при X = 0,2

если при х — Ѵ з

если при х = 0

если при X = 1

если при х = — 1

если при t = 1 если при х = 0

s = 0.

X = — 4.

у= о.

</ = ! •

У = I-

5= 0.

У= Ѵ 2.

у- 2. s = 2.

У= 1 -

У= 1/ 2.

У= 0-

у = 1,5.

У = 1- х = 4.

У = 0.

§ 123] Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О Р Я Д К А

327

17.

du

, .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

если

при

x — 0

 

 

 

 

Y

T

+ ä ’‘ ~ Y 7 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

І г - *

 

' - 0'

 

x) dy

 

 

 

 

если

при

X

=

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

=

 

,

 

если при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+

у)1

dx —dx

—

 

 

 

0

 

X =

 

 

 

 

 

 

20.

( 1

 

=

 

 

 

 

 

 

( 1

 

 

 

 

 

 

 

 

если при

 

 

 

 

 

 

2

 

У,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

О

 

 

 

 

.

У'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

yx+—tf =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если при х =

5л

 

 

 

 

 

 

A

l

 

 

=

 

~dy'

 

 

 

 

 

 

 

 

если при х =

—

 

 

 

 

22.

tg

X 2)

 

 

1 +

У,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

при

X — О

 

 

 

 

23.

(1 -

 

 

 

 

 

 

 

+

xy =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

у

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

dy +

 

 

X dx —

0,

 

 

 

 

 

 

если при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

cos

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

О

 

 

 

 

X

у dy —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

sin

X dx

=

0,

 

 

 

если

при

 

=

 

я

 

 

 

 

 

 

 

— cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти общие решения уравнений:2

х)

dx

+

 

(х2у — у) dy

=

0.

 

20.

(ху +

 

л) - 0 - = 1-

 

27.

(ху

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

(у — x

2

fi)

dy

+

(х Чг я//2) dx =

0

.

 

 

у dx

 

 

— у) x d y =

 

29.

(1 +

X2)

dy — (ху +

 

х) dx =

0.

 

30.

+

(1

0.

31.

x2dy

+

 

(у —

 

 

 

 

0.

 

 

32.

2 (ху +

у) dx = xdy.

 

 

 

 

2

 

 

dy —1) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

(х

+

 

1)

 

 

 

у dx.

 

 

34.

 

x2if —

2ху =

3у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки

Л (1 0 ; 0 ) со скоростью

о = 21 — t2.

Найти уравнение движения тела.

А

2

36. Написать уравнение линии, проходящей через точку

 

(— 1;0)

и всюду имеющей касательную с угловым коэффициентом, равным .

2

 

37.1

Найти

уравнение

кривой, проходящей через

точку

Л(3; 1)

и

имеющей

касательную,

угловой коэффициент

 

которой А равен

 

х — .

уравнение

кривой, проходящей через

точку

(4; 4)

 

 

38.

Найти

и имеющей касательную с угловым коэффициентом

k — — .

 

 

через

точку

 

 

39.

Написать

уравнение кривой,

проходящей

k

=

'I

и

имеющей

касательную

с угловым

 

коэффициентом

 

у.

Координаты

точек

некоторой

кривой связаны уравнением

 

 

40.

ху = (х + 1 ) у.

Написать уравнение этой кривой, если она проходит через точку Л (1 ; е).

Смотрите также файлы