Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 315

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

328

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н ЕН И Я

 

 

[ГЛ. XIII

41. Тело движется

по кривой, имеющей касательную с угловым

коэффициентом

k

Найти

изменение

ординаты

точки при из­

V= х2.

менении абсциссы с 2 до 5.

ѵ

 

0

gU

 

t

 

 

g

 

42. Скорость

тела, брошенного вниз с начальной

скоростью По,

определяется из

равенства

 

=

и +

 

где

— время,

 

— ускоре­

ние движения тела. Найти уравнение движения данного тела.

43. Тело, температура

которого

25°,

погружено

в термостат,

в котором поддерживается

 

температура

0°.

Зная,

что скорость

охлаждения тела пропорциональна разности между температурой

тела2 0

и

температурой

окружающей

среды,

определить,

за

какое

время

тело

охладится до

1 0

°, если

за

2 0

мин

оно охлаждается

до

 

°.

Если

температура

воздуха

равна

20° и тело

в

течение

2 0

44.

мин

охлаждается в этом воздухе от

1 0 0

° до 60°, то через сколько

времени температура

его понизится до

30°?

(См. закон охлаждения

взадаче № 43.)

45.Температура воздуха 15°. За 10 мин тело охладилось этим воздухом от 80° до 50°. Какова будет температура тела через час

после начального измерения? (Закон охлаждения дан в задаче

. Находясь в воздухе при температуре 18°, тело за 25 мин охладилось от 90° до 54°. Какова будет температура тела через 1 час 15 мин после начального измерения? (Закон охлаждения дан

взадаче №. 43.)

47.Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Известно, что трение пропорционально угловой скорости. Определить, с какой скоростью будет вращаться

диск в момент t = 4 мин, если при / = 0 он делал 120 об/мин,

апри і = 1 мин его скорость стала 80 об/мин.

48.Диск, начав вращаться в жидкости со скоростью 3 об/сек, через 1 мин. вращается со скоростью 2 об/сек. Какова будет его

угловая скорость через 3 мин после

начала

вращения?

(См.

за­

дачу № 47.)

начавший

 

вращаться

в

жидкости

 

со

скоростью

 

49. Диск,

 

 

5

об/сек,

через

2

мин.

вращается со

скоростью

3

об/сек.

Через

сколько

времени после

начала вращения он будет обладать ско­

ростью, равной

1

об/сек

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? (См. задачу № 47.)

 

 

 

 

 

 

 

 

50. При брожении скорость прироста действующего фермента

пропорциональна

его

наличному

количеству.

 

Если

 

первоначальное

количество фермента

1

г

через

час

становится

равным

1 , 2 г,

 

 

 

бро­

то чему оно будет равно через 5

часов

после

начала

 

жения?

 

2

2

г,

после

брожения

 

г.

 

 

количество

 

фер­

 

51. Через

часа

наличное

 

мента составляет

 

 

а через

3 часа— 3

 

Каково

было

первона­

чальное количество фермента?

(См. задачу № 50.)

 

 

 

 

 

§ 124. Однородные дифференциальные уравнения пер­ вого порядка. Уравнение вида

Р dx + Q dy = 0,

(1)

§ 124]

О Д Н О Р О Д Н Ы Е У Р А В Н ЕН И Я П ЕР В О ГО П О РЯ Д К А

320

 

 

где Р и Q — однородные функции *) х и у одинаковой степени, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядки.

Покажем на примере, как решается такое урав­ нение.

П р и м е р . Решить уравнение

 

Р е ш е н и е .

 

Приведем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

(2)

к

виду

 

( 2)

 

 

 

уравнение

 

(

1

 

 

умножив обе части его на

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим:

 

 

 

у2 dx

 

 

X2 dy

 

 

 

 

су dy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

у2 dx

+

+{х2—

ху) dy

=

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

(

3

)

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

=

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В уравнении

Р — у2

 

и

 

Q =

 

X2

—

ху.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как

видно,

Р

и

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

и

у,

причем

 

 

 

— однородные функции

 

 

 

обе

 

функции

второй

степени;

 

поэтому

 

уравнение

(

2

)

однородное.

 

 

 

 

(2) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

_

 

 

у-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

dx

 

ху

 

—

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(б)

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ZX,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

г

— новая

функция

х.

 

Найдя

 

 

z,

 

мы

получим из ра­

венства (5) искомуюz функцию

 

у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

х

равен

 

 

Для отыскания

 

продифференцируем

 

 

ство

 

(5), применив правило

(IV)

 

§ 70:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

=

 

z -\- X

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в уравнение (4) значения

у

и

 

 

взятые

 

 

U

“

 

 

 

из равенств (5) и Z( );

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

г2х2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

Х - Г - —

---- 5------- г »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

zx2

— X

2

 

 

 

х н

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

 

Однородным

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

 

 

 

многочленом

относительно

 

 

 

 

многочлен,

все

члены которого

имеют

 

 

одинаковую степень.

Так,

например,

многочлены

х2у — ху2, 2х2

—

Ъху,

5* -f-

Ау

+

Y х~

+

 

У1

однородны:

первый

многочлен^— третьей

 

степени, второй — второй

степени и третий — первой степени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

330

 

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

 

У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. XIII

или

 

 

1

 

X-dx

 

 

2

— 1

 

 

 

Отсюда-

 

 

Z +

 

 

 

J- —

-----------

 

 

 

г .

 

 

 

 

 

X —dx

 

 

2 —

 

1

 

Z,

 

 

 

-или

 

 

dz

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г- — -----------

 

 

:--------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 4 I ~

T = T '

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведя разделение переменных в полученном урав­

нении, напишем

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

X

 

 

 

 

С

 

 

После интегрирования

 

получим

I

 

+

ln I

 

|.

(7)

Представим

z

 

— ln I

 

I

=

ln I

 

 

 

 

 

в виде

 

z

=

1

ег.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

п

 

 

X

 

 

 

С

 

Теперь уравнение (7) примет вид

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

— Czx.

 

| +

ln I

I,

8

 

In ег — ln I ezI =

ln I

 

 

 

( )

Из равенства

(5) находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значением,

Заменив в равенстве (8 ) z найденным его

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

■С > ±

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е х — Су.

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

У_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (9) — общее решение уравнений* (2).

§ 124]

О Д Н О Р О Д Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО П О РЯ Д К А

331

Для

проверки

правильности

решения уравнения

дифференцируем по

х

обе

части

уравнения (9). Рас­

сматривая

как сложную

функцию дифференцируем

ее по правилу (XVII) § 81; к правой'же части применяем правило (V) § 71. Получим

По правилу (VI) § 72

( У V __. ху' — у

Ы

* 2 ‘

Следовательно,

= Су'.

(Ю)

В уравнение (10) входит постоянное С, которое необ­ ходимо исключить из этого уравнения. С этой целью

находим из (9)

у

и в уравнении■

(10) заменяем

С

его значением;

получим;

у

 

у

или

 

У

ХУ -

» ____ /

ху — у

е X

 

 

У ■■ У ’

X-

У

Решив это уравнение относительно у', найдем

Уху — х2 '

Мы получили исходное уравнение (4).

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти общие решения уравнений:

 

{х

 

у) dx

 

 

(у ~ х) dy

 

 

1-

(лг +

у) dx

+

X dy

= 0.

 

6

.

+

+

= 0.

2

.

{х

—

у) у dx

=

x 2dy.

 

7.

X dy

—

у dx

 

=

у dy.

 

.

 

 

 

 

ху

 

 

 

 

 

8.

dx.

^ L =

 

4 _ J L +

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9..

ху

—■ 2

У2

 

 

4.

ху2 dy — (X3

у3) dx.

 

У' -

 

 

 

 

 

 

х у ’

 

 

5.

(х2 — 2у2) dx++

2ху dy —

0.

х у - у = Ѵ х 2 + Уг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы