Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 314
Скачиваний: 10
332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
(ГЛ. XIII |
|||||||||
Найти частные решения ууравнений: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
у' — |
9^ |
|
I. у» |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
. |
|
|
|
+ |
— , |
если |
|
О |
при |
дг = |
1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
ху |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
. |
у' = |
|
|
|
|
у2 |
» |
|
у |
= |
1 |
» |
X = |
1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
У2 |
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
|
= |
|
|
X2 |
’ |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
у' |
|
2 |
|
|
|
|
у — 2 |
» |
х — 2. |
|
|
|||||||||
|
X |
|
+ ху ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
§ |
|
|
125. |
Линейные дифференциальные уравнения пер |
||||||||||||||||
вого порядка. |
|
Уравнение вида |
|
|
|
О) |
||||||||||||||
|
|
|
|
y' + |
py = |
q, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где р и q — функции х или постоянные величины, на зывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
В общем случае в этом уравнении нельзя произ вести разделение переменных. Однако его можно с по мощью особого приема преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными, после чего линейное уравнение разрешается просто. Покажем на примере, как это делается.
П р и м е р . Решить уравнение
Р е ш е н и е . |
4 |
|
- |
2 і/ = |
(1 - |
|
а:2) ^ . |
привести |
данное |
||||||||
Прежде всего |
|
нужно |
|||||||||||||||
уравнение к виду ( |
1 |
), с этой целью обе части его умно |
|||||||||||||||
жим на |
X. |
Получиму ' — 2х у — |
( х |
— X3) е х \ |
|
|
(2) |
||||||||||
Положим |
z |
|
|
|
|
|
У = |
иг, |
|
|
|
|
(3) |
||||
где |
и |
и |
— новыеу . |
|
функции |
х . |
|
Наша |
задачах |
||||||||
|
|
|
|
|
— найти |
||||||||||||
эти |
функции, |
чтобы |
затем |
из |
равенства |
(3) найти ис |
|||||||||||
комую |
функцию |
|
* Продифференцируем |
по |
равен |
||||||||||||
ство |
|
(3), применив правило |
(IV) |
|
§ 70: |
|
|
(4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
и dz |
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—— = |
— |
+ |
Z |
dx |
|
|
|
|||
Заменив |
в |
|
|
dx |
|
dx |
у' а у их значениями, взя |
||||||||||
|
уравнении |
(2) |
|||||||||||||||
тыми из |
(3) |
и |
(4), имеем |
xuz = {x — X3) ex\ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
du |
— 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
u m r + z dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
§ 125] |
Л И Н Е Й Н Ы Е |
У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О ГО |
П О Р Я Д К А |
|
333 |
|||
Если мы хотим, |
например, |
найти |
сначала |
функцию |
||||
г, то |
должны собрать члены, |
содержащие функцию |
и, |
|||||
и вынести эту функцию за скобку. Получим: |
|
<5) |
||||||
|
u (J^ - |
2xz) + z -W ==^ |
- ^ ex2- |
|
||||
Найдем теперь такую функцию 2 , чтобы |
она обра |
|||||||
щала |
в нуль первую скобку2xzв |
=равенстве (5), т. е. чтобы |
||||||
|
|
4 |
?---- |
0 |
. |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
6 |
||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
При этом условии уравнение (5) обратится в следую
щее: |
2 |
(7) |
Произведя разделение переменных в уравнении (6 ),
напишем |
■ у-= |
2 |
* |
dx. |
8 |
|
Отсюда |
|
|
( ) |
|||
J |
~г~~ j |
2х dx' |
|
|||
или, после интегрирования, |
|
|
(9) |
|||
1п| |
2 |
I = |
я + 1п| С |. |
|
||
|
|
2 |
|
|
||
По определению логарифма
хг = In ех\
поэтому равенство (9) примет вид •
ln I 2 I = In ex‘ + ln 1С I,
откуда
Нам нужно |
2 = |
Cex\ |
|
8 |
). |
|
одно из частныхС — решений уравнения ( |
|
|||||
Выберем простейшее из них; с этой целью положим |
||||||
произвольное |
постоянное2 |
= |
ех\1. В |
результате имеем |
|
|
|
|
|
(10) |
|||
334 Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. XIII
Подставив найденное значение г в уравнение (7), получим
ех dx =
или
dudx = Г. -- JKГ53.
Это уравнение тоже с разделяющимися переменными.
Решив его, найдем |
|
и |
= |
\ - |
\ |
+ с . |
|
|
|
|
|
|
U D |
|||||||||||
Подставив |
|
в |
|
равенстве |
(3) |
значения |
г |
|
и |
и, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
взятые из |
||||||||||||||||||
равенств |
( |
1 0 |
) |
и |
( |
1 1 |
), |
получим |
общее |
решение |
уравне |
|||||||||||||
ния ( |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
y = |
|
“ z = |
( - £ ~ - ^ |
+ |
с )е*\ |
|
|
|
|
|
|||||
Проверка |
|
этого |
решения |
производится |
так |
же, |
как |
|||||||||||||||||
в разобранном примере § 124. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
общие решения уравнений: у' + |
у |
|
Sin |
X |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
у' = |
X |
~ |
|
|
|
|
||||
2 у' = — — 1 |
|
|
|
|
|
У + 1 |
X |
|
|
|
|
|||||||||||||
3.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
.х 3. |
|
|
|
|
|
Ю. ! / - |
|
|
|
|
|
|
|
||
у ' + ~ - = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
J |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хгу' = |
2ху — 3. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
||||||
к |
у |
> |
|
1 |
у |
|
|
, „ |
|
|
|
13. |
(1 + |
X*) у' |
|
2ху = (1 + |
X2)2. |
|||||||
5, |
|
------- |
= |
еххп. |
|
|
|
- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
ху' + |
У = |
|
е |
х . |
|
|
|
|
|
14. X {у' — у) = (1 + |
X,2) 4х . |
|
|||||||||||
7. |
dt |
cos t + |
s sin / = |
1. |
|
15. у ' -----= tg -£ . |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
s i n * |
|
|
s |
|
|
||||
о__ x + y
dx X
Найти частные решения уравнений:
16. |
ху' + у = |
3, |
если |
у = |
0 |
при |
лс = |
1. |
17. |
у' — 2у + |
3 = 0, |
» |
у = |
1 |
» |
х = |
0. |
§ 126] |
|
Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е |
У Р А В Н Е Н И Я |
В И Д А |
d'yldiC- - |
f(x) |
3 3 5 |
|||||||||||
18. |
xtf |
— |
2у |
= |
х ъех, |
» |
у = |
0 |
» |
|
х — 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
у = |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
I V . y ' - y t g x - ^ , |
» |
|
|
» |
|
* = |
. |
|
|
|||||||||
2 0 |
. ху' + |
у = |
х + |
1 |
, |
» |
г/ = |
3 |
» |
|
х — 2. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
^2ц |
/ (х ). |
||||||||||||
§ 126. Дифференциальные уравнения вида |
= |
|||||||||||||||||
уравнениемУравнение, содержащеевторого порядка.производные |
или дифференци |
|||||||||||||||||
алы |
|
второго |
|
порядка, |
называется |
дифференциальным |
||||||||||||
нений |
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшее из этих урав |
|||||||||
имеет вид -^ p -= f(x ); оно решается двукратным |
||||||||||||||||||
интегрированием. |
|
|
|
|
|
d2y |
|
1 — 2х. |
|
|||||||||
П р и м е р |
|
1. Решить уравнение |
|
|
= |
|
произ |
|||||||||||
Р е ш е н и е . |
Согласно |
определению |
|
второй |
||||||||||||||
водной можно написать: |
|
‘(£) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Положим теперь |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
S |
I - К |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d2y |
• m |
|
dp |
|
’ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
||
и данное уравнение перепишется следующим образом:
4 Е- = 1 — 2х , dx
или
dp = ( 1 — 2 х) dx.
Интегрируя последнее уравнение, найдем:
J d p = J (1—2х) dx
и
р = X — X2 + Cj.
Но
336 |
Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я |
[ГЛ. Х Ш |
|
поэтому |
Ü - = • ' - * ’ + с .. |
|
|
И Л И |
|
||
Снова |
dy = |
{x — X2+ С,) dx. |
|
интегрируем |
и получаем: |
(1) |
|
У — \ (х — х2 + C l)dx = ± - — ^ j + C lx + C2. |
|||
Мы нашли общее решение данного уравнения.
Чтобы получить частное решение его, необходимо
найти |
числовые значения постоянных |
С, и |
С2; для |
этого |
нужно иметь начальные условия. |
Пусть |
кривая, |
определяемая частным решением, проходит, например,
через точки с координатами ( ; |
1 |
) и |
тогда, |
0 |
|
|
подставив значения х и у в уравнение ( 1 ), получим следующую систему уравнений относительно С) и С2:
1 = | - | + С , - 0 + С2( )
^ y - y + ^ + Cj, |
J |
откуда
С[ = — 1 и С2= 1.
Следовательно, частное решение данного дифферен циального уравнения при указанных начальных усло виях будет:
l/ = j X 2 — j X 3 — X + 1.
Для проверки правильности решения найдем вто рую производную этой функции:
$ = ( х - х * - 1 У = 1 - 2 х .
Мы пришли к исходному уравнению, что говорит о том, что оно решено правильно.
В разобранном примере начальные условия были даны в виде координат двух точек кривой, уравнение