Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 313

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 126]

Д И Ф Ф ЕР ЕН Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

ВИ Д А

tfy ld x 7 - f(x)

337

которой

является

частным

решением

хдифференциаль­х0 у Уо

У'ного— Уйуравнения.-

Однако начальные условия могут быть

даны

и

в

иной

форме, например, при

 

=

=

и

 

 

Это

значит,

что

мы

задаем

точку кривой

и направление

см/сек2.касательной в этой точке.

 

 

движения

П р и м е р

2.

Ускорение

прямолинейного

тела

равно

2 t.

 

 

Выразить

путь

s

тела

как

функ­

цию времени

 

Согласно

механическому

смыслу

вто­

Р е ш е н и е .

 

рой производной функции

(§ 85)

имеем:

 

 

 

 

Обозначив

 

 

 

 

£ s _ —

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напишем:

 

 

dH

_ _

d

("dF) _

 

dp

_

0

 

 

 

 

откуда

 

 

 

dP

 

 

 

dt

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp — 2 dt

 

 

 

 

 

 

и.

 

p

 

 

 

 

p =

2t -f- Cj.

 

 

 

 

 

 

Заменив

 

его выражением,

получим:

 

 

 

(2)

или

 

 

 

 

 

 

=

2/ +

 

 

С „

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds =

(2t -f- C,) dt,

 

 

 

 

 

отсюда

 

s =

J

(2t +

C l)dt =

 

t2 +

C it +

C2.

 

(3)

Для

получения частного

решения нужны начальные

условия.

Пусть

при

t — 0

s =

0

 

ds

 

 

 

и -^- = 0 (предпола­

гаем,

что~

в

начальный

момент

движения—путь s и

скорость

2

равны нулю).. Заменив

/,

s

и

в

урав­

нениях ( ) и (3) нулями,

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С, = 0 ,

С

2

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, искомая зависимость будет s = t 2.

338

 

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

 

ІГЛ. Х Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти частные решения уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Ü L

-

5

 

если

при х =

0

. и при х

=

 

1

 

 

 

 

1

dx

 

-

0

’

 

 

 

 

 

У

=

1

 

 

Р ==

0

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ü (/хL

 

 

 

если

при

лг —

2

 

 

 

je ~~~* 4

,,

 

 

 

3.

=

 

X,

X

 

==

_1

 

и при X =

 

2

 

 

 

О

dx

"

— 5‘

 

 

 

 

 

у — 0 5

1^ р = П2 .

 

 

 

 

2

 

 

 

если

при

 

 

=

 

. и при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2S

 

 

 

t

 

=

0

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

d(2

— ^ 4- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

-

і/ = .

 

 

 

4.

——2 0

если при s0

 

= 0

 

ds0

=

 

 

 

 

 

.

 

 

d

 

 

 

г- f l ,

 

=

 

 

и —

 

 

 

3

 

 

 

 

.

 

 

 

.

если при

ш

=

 

 

 

d

 

=

 

 

 

 

 

 

5-

 

 

 

 

 

 

 

о и Ж

 

Т .

 

 

 

Найти общие решения2

уравнений:

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

7.

d Ѳ2

 

__

 

 

 

 

 

8. «

 

=

 

cos X.

 

 

 

9.

d2s

=

 

— sin

d<p

 

 

 

d2p2

 

о

‘

 

 

11.

 

d252

e

21

 

t.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

"di2"

1

 

10.

e*

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dl

 

 

 

12. Составить уравнение

движения

тяжелой точки,

брошенной

сначальной скоростью ѵ0 вертикально вверх.

13.Ускорение прямолинейного движения тела определяется из

равенства / =

I

2

+

і.

Найти закон

движения

тела,

если

в

момент

1

= 1 скорость его о =

2 и путь S = 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

Тело

движется

прямолинейно,

имея

ускорение

/ =

Ы

— 4,

начальную скорость

ѵ0

= 4 и путь

S =

0 при

t

=

0. Найти:

 

 

1

)

скорость

 

и пройденный путь

в функции

времени

t,

 

 

 

2

)

путь, скорость и ускорение в момент

t

=

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)момент времени, когда скорость будет наименьшей.

15.Ускорение прямолинейного движения пропорционально вре­ мени. Найти зависимость между пройденным расстоянием и време­

нем, если при i = 0 o = 0 i i S = 0, а также при t = 1 S = -g-.

16. Ускорение прямолинейного движения пропорционально квадрату времени. Найти зависимость между пройденным расстоя­ нием и временем, если при ( = 0 O = 0 H S = 1, а также при t = 1 S = 2.

§ 127. Линейные однородные дифференциальные урав­ нения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением второго по­ рядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где

р и q

—

У"

+

РУ'

+

gy = f{x),

) —

(1)

ная

 

постоянные

величины, а f{x

непрерыв­

 

функция хк

 

 

 

 

 

 

§ 127]

л и н е й н ы е у р а в н е н и я в т о р о г о п о р я д к а

539

Правая часть уравнения (1) вместо функции f{x) может содержать нуль; в этом случае получим уравне­ ние

 

 

 

 

 

У"

+

РУ' + qy =

0,

 

 

(2)

называемое

однородным.

Уравнение (1)

называется

неоднородным.

 

 

 

 

 

 

 

уравненияуравнения

( 2) .Займемся

рассмотрениемЕсли у = Уоднородногоі— решение

(

2

),

то у =

ауи

где а

—

постоянный

множитель,

также

 

 

 

этого1.

 

 

 

 

 

 

 

будетТ е орешениемр е м а

уравнения.

 

первую

и

вторую

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Найдем

 

производные функции

у =

 

аур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У' = {аУ\)' = аіЛ

І/" = К ) ' = < -

Подставив в уравнение (2 ) вместо у", у' и у их зна­ чения, получим:

 

 

 

ау'{

+

рау\

+

qay{

а (у"

+

ру\

+

qyx) =

0

.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

—

У\

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

по

условию

 

=

удовлетворяет

уравнению

(

2

),

то

 

 

 

 

 

 

 

У"

 

РУ\

УУ\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

потому

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

=

0,

 

 

 

 

 

Аурав­это

равенствоЕсли(3)у——тождество,У\ у = у2т. е.решения0 = 0.

нениязначит, что

ауі

и—

суммарешениеу уравненияу\

 

2

 

его

решение.

 

 

также( ).

 

 

Т е о р е м а 2.

 

 

у —У\=

+

и

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

(

2

),

 

то

 

 

 

+у%.г

 

первую

и

вторую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 2

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Найдем

 

производные функции У' =

У[ +

 

У'2>

 

 

 

 

 

 

 

 

У" = У" + у"-

Подставим в уравнение (2) вместо у", у' и у их зна­ чения:

У" + У2 + Р (у 'і + Уі) + У {У\ + У2) —

= {У" + РУ[ + УУі) -г {У2 + РУг + УУ2) = °- (4)

340

 

 

 

 

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

 

 

 

 

[ГЛ. Х ІН

По условию у =

у\

и у =

У2— решения

 

 

уравнения (2),

следовательно,

 

они

 

удовлетворяют

этому

 

уравнению,

а потому

 

 

 

 

У" Ч- РУ[ +

ЧУ\ =

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

Уа

Ч-

РУг

Ч-

УУ%—

°-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

=

 

0,

а

потому

 

равенствоу — У\(4) —утождество,у2,

 

т. е.

 

 

 

у — у 1

+

г/г — решение уравнения

(

2

).

 

 

 

 

 

называются

Решения

 

 

 

 

и

=

 

как

 

известно,

частными. Среди частныхДва

решенийчастных решенияуравненияуравнения(2) раз­

 

 

линейно

зависимые

линейно независимые.

личаютназываются линейно зависимымии

если одно

из них

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

умножением

другого

 

на

какой-

можетО п рбытье д е л еполученон и е .

 

нибудь( )

постоянный множитель

 

в

,противном

случае

частные решения называются линейно;

 

 

независимыми.

Например, уравнение

 

 

Ъу =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

у " - 5 у ' +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет частные решения двух видов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = е2х

и

у — е3х

 

 

 

 

 

 

 

 

(как

найдены

 

эти

 

 

 

 

узнаем

в

дальнейшем).

 

 

решения,

Если

взять— е2х

е2х

уи—умножитьБе2х

на

5, то

 

получим

5е2* —•

тоже участное

решение

(теоремае2х

 

у);—согласное3х

определе­

нию

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

1

зависимыеа

частные

 

 

 

 

 

 

же

у

— линейно

решения.еЪх =£=Решенияае2х.

 

=

 

и

 

 

 

 

 

 

— линейно не­

зависимые, так

 

какЕслиприу =любомУі и упостоянном— Уі линейносправед­неза­

Т е о р е м а

 

3.

 

 

 

 

уравнения

 

—

то общее ре­

ливовисимые

частные решения

2

),

шение его будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где С\

и

С%

 

 

 

 

У =

С\У\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

произвольные 4-CJ02,

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

постоянные

величины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы

 

 

в

2 этом

 

 

убедиться,

Д о к а з а т е л ь с т в о .1

 

 

 

 

 

можно применить прием, использованный нами для до­

казательствауі Уі

 

теоремы

 

и теоремы

. Однако

прощеС\у\

поступить следующим образом. Так как согласно усло­

вию

 

и

 

— частные

решения уравнения

 

(

2

),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы