Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (15,67Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 311

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 127]	Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я ВТО РО ГО П О РЯ Д К А	341
		341


и	С 2У2	— его решения			(теорема		1	2	а потому и их	сум
				2				),
м а — также его решение						(теорема			).
	Следует заметить, что общее решение дифференци
ального			уравнения ( )			должно	6содержать две произ
вольные			постоянные,		а	это может			быть только в	том

случае, если в состав решения ( ) входят два линейно независимых частных решения, в противном случае бу дет только одна произвольная постоянная, а решение явится не общим, а частным. Поясним это на примере.

Обратившись к уравнению	(5), напишем для него сле
дующее решение: у ^ С ^	+ С& е2-,	(7)
		(7)

в состав которого входят два линейно зависимых част


ных решения		е2х	и	ае2х.	Преобразуя (7), получим:
ных решения		у	и		Преобразуя (7), получим:
			=	(С1+ аС2)<** = Сег*,				,	8
где	Сі + а С і — С.			Как видно, решение (		8	),	,	( )
где				Как видно, решение (			),	равносиль

ноеаСі,решению (7), содержит одну произвольную посто
янную	С, которая	появилась в результате слияния				С г
и	а потому оно будет не общим, а частным реше
нием	уравнения	(2).	Действительно,е3х.	решение ( )		не
включает в себя		все		8	(		),
			частные решения уравнения			2

в нем отсутствуют решения вида Из сказанного следует, что для получения общего

решения

уравнения

(

)

нужно

уметь находить

его

ча

стные линейно независимые решения.

В полных курсах анализа доказывается, что. част

ными линейно независимыми решениями уравнения

( )

являются функции вида У =

е**,

(9)

где

— постоянное

число,

.которое

нужно найти

для

того

или

уиного— ehxлинейного однородного дифференциаль

ного уравнения второго порядка.

уравнения

к,(2), то

Если

—к.частное

решение

оно

должно удовлетворятьу =этомуe

уравнению

при

не

котором

значении

Чтобы

найти это значение

про

дифференцируем функцию

hx:

у'

(ekxY

kekx,

k2e

kx;

(kekxy =

342 Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я ІГЛ. XIII

подставим в уравнение (2 ) вместо у", у' и у их значе

ния; получим:

k2ekx

pkekx

qekx

О,

или

екхФО, (

ekx

-j- <)

Так

как

то,

очевидно,

(

k,)

k2 + pk-{-q = 0

1 0

Решив уравнение (10), мы получим два значения

которые подставим в функцию

(9)2.

Таким образом, мы найдем два частных линейно

независимых решения уравнения ( ):

y — ek,x

y — gfc,*.

Уравнение

(10)

называется

характеристическим

уравнением

линейного

однородного

дифференциального

уравнения второго порядка с постоянными коэффици

ентами.

у", у'

Заметим, что для составленияk2, k

характеристического

уравнения достаточно

уравнении

(

) вместо

написать соответственно

Разберем

три случая

решения

уравнения

(2).

П е р в ы й

с л у ч а й . 2

Корни

характеристического

уравнения действительные yи разные по величине. Сле

довательно,

уравнение

( )

имеет

два

линейно

незави

симых частных

решения:

— ek'x

y = ekiX,

а потому

его общим решением будет

П р и м е р

y =

C {ek‘x + C 2ek>x.

у" — Ъу' +

бу = 0.

1. Решить

уравнение

Р е ш е н и е .

Частными

решениями

этого

уравнения

мы уже пользовались; теперь покажем, как они нахо

дятся.	Составляем характеристическое уравнение
откуда	/г — 5/г +	6	=	0	,
	2				3.
	/г, = 2 и	k2=

Таким образом, линейно независимыми частными ре шениями для данного уравнения будут

у = е2х	и	у — еЪх,
	и

§ 127]

л и н е й н ы е

у р а в н е н и я

в т о р о г о

п о р я д к а

343

а его общее решение напишется так:

В т о р о й

С хе2х

+ С 2е Ч

с л у ч а й .

Корни

характеристического

уравнения действительные и равные, т. е.

kx — k2.

Н а

ходим одно частное решение:

Можно

доказать,

что

у — ек'х.

вторым

частным решением будет

xek'x.

Покажем это на следующем примере.

у"

4у'

4т/ = 0.

П р и м е р

Решить

уравнение

Р е ш е н и е .

Решая

характеристическое

уравнение

находим:

k2 +

4k +

4 =

kx— k2— — 2.

у =

хе~2х.

Одно частное решение

е~2х,

а другое

Проверим,

что

у =

хе~2х

удовлетворяет

данному

уравнению. Для этого находим:

у' — (хе~2хУ

е~2хх'

е~2х)' =

е~2х

—

2хе~2х.

У"

(

2хе~2х)'

(е~2х)' -

е~2х (2х)' — 2х (е~2хУ

= (е-

* _

2е~2х

4хе~2х

4е~2х

4хе~2х.

= —

—

у'+

Подставляем значения у",

в уравнение:

—

4е~2х

-}-

4хе~2х

4е~2х

—

8хе~2х

4хе~2х

= 0;

0 — 0.

Полученное

тождество

показывает,

что

у =

хе~2х

—

второе частное решение данного дифференциального уравнения.

Итак, мы нашли для данного уравнения два част ных решения:

у = е~2х и у — хе~2х,

которые являются линейно независимыми; поэтому об

щее решение этого уравнения будет

С2х) е~2х.

С хе~2х

С2хе~2х

(С, +

Т р е т и й

с л у ч а й .

Корни

характеристического

уравнения комплексные, а именно:

a — bi.

kx — а-\-Ы

k2 =

(

1 1

)

344	Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е	У Р А В Н Е Н И Я	[ГЛ. XIII

		2	( [ 2 )
	у 1 = = = е ( а + Ы ) х и у 2 = = е { а - Ы ) х ^
Частными решениями уравнения		( ) будут

Однако эти решения можно преобразовать в выраже ния, которые не содержат мнимых величин.

Представим функции (12)	в следующем виде:
г/, = е а х + Ь х і —	е ахе Ь хіу

у 2 == Q d X -b xi — е а хе - Ь х і %

Сложим эти равенства, а затем вычтем из первого вто рое; получим:

У і + У ч =			еах (ehxi + е~Ьх1),
У і — у2=			еах (ebxi — е~Ьхі).		-у-,
1
Первое из полученных равенств умножим на 2
рое — на 2 і :
„	-L и		оЬхі Л. 0 —ЬхІ
У 1	т	Уг	„ ах е	т е
	2	~		2

авто-

(13)

У I

Уг

ах

и .

— и

р Ъ х і

— P ~ b x l

2 1

2 /

Согласно формулам

Эйлера *) имеем

е Ьхі + е - Ь х і

=?cos bx,

е ш

— e ~ bxi

поэтому

2 1

= sin bx,

равенстваУ(13)Угпримут

вид:

I +

г ах

bx,

У1

Уг

cos bx\

(14)

Уі

у 1

— У2

—

„ал sin

уравнения (

)

•

-— частные

решения

*) Формулы

,lx

e- l x

COS А *“ * elx +2 e 'lx

позднее,

139.

будут доказаны

■ -

§ 127]	Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я		ВТО РО ГО П О РЯ Д К А			345
(теорема	2 ), Уі	и ѵ'	1—	также	частные реше
ния этого уравнения		(теорема	).
Итак,	мы нашли	два частных решения уравнения
(2), представленные		равенствами		(14),	причем эти ре

шения линейно независимые. Следовательно, общее ре

шение уравнения

(

) напишется в виде

С2

bx).

у — С хеах

cos

С2еах

sin

bx — еах {Сг

cos

sin

(15)

П р и м е р

Решить

уравнение

у" — 6уг

ІЗу

= 0.

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение

А: -

/г +

13 =

имеет корни

і и

3 —■

3 +1 1

Сравнивая их с (

), имеем:Ь —

а = 3

Следовательно, частными решениями данного уравне

ния будут	у = е3х cos 2х		и	у =		е3хsin 2х,
а общее решение		(Ct cos	2х	+	С 2 2х).
	у = еЪх
						sin

Уп р а ж н е н и я

1.Показать, что функция

где С ,

С 2

У = C te~Zx +

С 2 е3*,

— произвольные постоянные, является общим решением

уравнения .

у" - у ' — бу =

. Показать,

что

функция

ех

(С! cos

С 2

sin

х),

где СI

С 2

является общим реше

— произвольные

постоянные,

нием уравнения

у"

2і/

// =

Найти общее решение следующих уравнений:

у" — у =

у" =

4у.

у"

4у' + 3у = 0.

У"

/ -

2у

у" - 2 у ' + у = 0.

Смотрите также файлы

Массовых коммуникаций российской федерации ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образов.docx

Сынып 7.docx

Вы зашли под именем Алиева Виктория Николаевна (Выход) анпоо "нспк".pdf

Учебнометодическое пособие по курсовому проектированию А. Н. Губин спбгут. СанктПетербург, 2021. 30 с. Содержит рекомендации по выполнению курсового проектиро вания при изучении дисциплины Проектная оценка надежности ин формационных систем.pdf

Понятие мошенничества. Предпосылки, причины и условия возникновения.docx

Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно