Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

346

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ.. Х Ш

8.

у"

-

y'

+

9</ =

0.

9.

у " - у ' + \ у =

0.

у"

6

у" +

4у' + 8у =

1 0

.

+

2 у’ +

2у =

0.

11.

0.

у "

0.

13.

16//= 0.

12.

+ у =

у" +

Найти

частные

решения следующих уравнений:

14.

у"

— 9у =

0, если

при х = 0

у =

2

и

у'

=

6

.

15.

у"

+

3</' +

2(/ =

0,

если

при

х

=

0

у —

— 1 и у' =

3.

16.

у" +

6

/

+

9і/7

=

0,

если

при

х =

0 у =

2

и */' =

1.— •

+

при

1 =

=

1.

17.

at1

2 -^ - + 55

=

О,

если

0 5 = 1

и

at

at

18.

у"

—

2і/

+

2у — 0

,

если

при х =

0

у

= 1

и

у' =

3.

ѵ,

ѵ

точки

5 —

где

—

19. Ускорение

дано равенством / =

— g

скорость точки,

а

5 — путь,

0

пройденныйѵ

ею. Найти

уравнение

дви­

жения

точки, если

при

f =

S =

0

и

=

2,

довательности, называется бесконечным рядом или про­

сто рядом.

. . . —

общим членом ряда.

S „, Член ип называетсяп

(I)

через

Обозначим

сумму

первых членов ряда

т. е.

5„ =

«1

2

ип.

S n

+ И + «3 + «4 + . . • -f-

ряда.

Сумма

называется

частичной суммой

При из­

п

S n\

менении

меняется и

при этом возможны два слу­

чая:

величина

5 „

при

п

—> оо

имеет предел 5, т. е.

1)

lim

S „ =

S;

Л-»°о

2)

величина

S „

при

п~*

оо

предела

не

имеет или

пределS =ее равенS n оо.

суммой.

сходящимся,

а чи­

В первом случае ряд называется

сло

lim

— его

Во втором случае ряд

Л->оо

называется

расходящимся-,

такой ряд суммы

не

имеет.

Например, ряд

_і___!___і_

__ I__ !__ I__ 5__ I___!___і_

2 ~

4 ~

8

^

16 ^

2п ^

Ряд же

nlim

S n

2

1.

->оо

Ч - . . . +

" 4- . . . .

2

3

2

2

2 + 2 + 2 +

S n =

aqg _

2 • 2 −

2

lim

lim

1а-

Птсо

2 -

1

Пт (2 П + 1 — 2 ) =

оо.

П->со

П->оо

Ч

/ 2

оо

§ 129. Необходимый признак сходимости ряда. Пусть

дан сходящийся

ряд

Щ +

п

и2+

из +

■ • ■ +

и п 4 * • • •

0 )

Найдем

сумму

— 1 и

п

его членов

5„_і =

«! Ч- «2+

«з +

... +Ы„_і,

S n =

и \ ■ + ■и 2 +

и 3 +

•

• и •п - \ +

и п ‘

(2)

В.ЫЧТЯ из

второго

равенства

первое,

получим:

пВозьмем

предел

S n

S n-y — ип.

un,равенства (2)

от(Snобеих

частей

при

— >

о о :

lim

— S „ _ i ) =

lim

или

(3)

n

ОО

П - > OO

n-> оо

П - > СО

П - >

CO

Так

lim 5„ — Hm 5 „ _ , =

Hm

то

как ряд (1),П-по>оо

условию,П->оо

сходящийся,

Равенство

(3)

lim

S n

=

П т

5 „_[ =

5 .

можно переписать так:

ИЛИ

5 — 5 =

Пт

ип,

П ->

со

Нтооtin — О.

(4)