Файл: Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 309

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

350

Положив

в

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

 

 

 

ІГЛ. XIV

 

 

неравенстве

(7) п =

Г, 2, 3, 4, 5,

по­

лучим:

 

 

 

 

1п 2 — In

21 <

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 3 — ln

<

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1п4 — І п З < - ~ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 5 — ln 4 <

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In (n + 1) — ln n < .

 

 

 

 

 

 

Сложив эти неравенства, найдем

 

 

 

 

 

 

 

l n ( n + l ) < l + y +

-j-}--f +

...

+ — •

 

Пусть п —* оо, тогда

- ^ - + . . .

+

—

>

1п

(п

+

1) —► ОО.

 

 

 

1 + у

+

у

+

 

 

 

Следовательно,

гармонический

ряд расходится.

 

 

§ 130. Достаточные признаки сходимости ряда.

два

 

 

1. С р а в н е н и е

 

р я д о в .

Будем

сравнивать

ряда с положительными членами:

 

 

 

 

 

 

и

 

 

Ui +

Щ +

иг + . . .

+

ип + ...

 

(1)

 

 

Ü

1

" Ѵ Ь2

 

ü

3 ~

Ь

ѵ п •+

• •

 

+• • •

( 2 )

 

1

1) Пусть ряд (2) сходится и каждый член ряда (1)

меньше соответствующего члена

ряда

( ); тогда и

ряд

(

1 )

сходится.

 

(2)-

расходится

 

 

2

 

ряда

 

 

 

 

 

2

 

2) 1 Пусть

ряд

и каждый член

( )

больше

соответствующего

члена

ряда

( ); тогда и

ряд

( ) расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примем указанные признаки без доказательства.

 

П р и м е р

1.

Для

установления

сходимости ряда

Т П Г -^ 1-2-3

 

І - 2- 3- 4

 

 

( л +

1)1

 

 

^

*) Принято произведение 1-2-3. . , /п

0

записывать1

символом т\

и читать «эм факториал» (по определению

 

! = ).

 

§ 130]

Д О С ТА ТО Ч Н Ы Е

П Р И ЗН А К И

С Х О Д И М О СТИ РЯ Д А

351

сравним его с рядом

2 3 ~

”

2 я ~ • • • >

(4)

 

2 ~ 2 2 '

 

составленным из членов бесконечно убывающей гео­ метрической прогрессии. Каждый член ряда (3), начи­ ная со второго, меньше соответствующего члена ряда (4); кроме того, как мы знаем, ряд (4) — сходящийся. Следовательно, и ряд (3) — сходящийся.

П р и м е р 2. Возьмем ряд

 

 

 

V2

+

Уз

+

' * *

 

+

 

Ѵп

 

 

(5>

и сравним его с гармоническим рядом

 

 

 

 

 

 

1+т+і+ •••+т+ •••

со второго,

Так как каждый член ряда

(5),

начиная

больше соответствующего

члена

 

рядаЕсли

( в),рядеа рядс (поло­) —•

жительнымирасходящийсячленами(§ 129), то

 

ряд

 

(5)

 

 

 

6

 

6

 

 

тоже

расходящийся.

 

2,- П р и з н а к Д а л а м б е р а.

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняется

и\

+

и2

+

и3

+

 

. . .

+

ип

+ . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

и п + 1 _

_

 

 

 

 

 

 

 

 

то

данный ряд

 

 

 

 

Ип

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п->°о

при

I

<

 

1 и

расходится при

l >

1 .

 

 

сходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примем этот признак без доказательства.

 

 

П р и м е р

 

3. Исследовать сходимость ряда

 

1 , 3 , 5 ,

 

 

 

,*

 

2

я —

1

,

 

 

 

"гГ

 

22

'

 

*

 

•

• •

 

 

 

 

2п

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

2я -

1 .

 

 

 

 

 

 

 

2» + 1 .

 

 

 

 

 

 

2n

’

 

 

Un+i

 

 

 

2n+>

’

 

 

un+ 1 __

2ft +

1 .

2ft — 1

 

 

 

 

 

2n +

1

 

 

un

 

~

2n+ l

*

 

2n

 

 

~

 

2 ( 2 и -

1)

’

352

 

 

 

 

 

 

 

РЯДЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГЛі XIV

Применяя признак Даламбера, находим:

 

 

 

 

lim "a±Le

lim -

 

+

 

!-

 

2

 

Hm

 

n ^2 _ _ L j

 

 

 

 

«я

Л „ 2 ( 2 « - 1 )

 

n1™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

n->QO 2

+ 4

 

 

•

1

< I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Данный ряд сходится.

 

 

lim .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимость ряда

 

 

П р и м е р I

4. Исследовать,

 

 

1

 

1-2

 

 

3

 

 

 

 

I

пі

I

 

 

 

 

Ю

"»■

ю*

f

 

Ш

 

'

 

* ''

 

 

' ш"

^

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

1 - 2 - 3

 

. . .

п

 

 

U.

 

 

1 - 2 - 3 . . . и ( п + 1 ) .

« я =

,

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

10“ +1

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

« + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

 

 

+

1) .

1- 2 • 3 . . .

 

___

 

 

+

I .

ип + 1

 

п {п

п

 

п

ип

1- 2 - 3

 

 

 

 

 

 

 

lim

Ю"+|

 

 

’

, 1 + 1

10"

 

 

 

 

10

’

 

 

Un

=

lim

10

 

— оо.

 

 

 

 

 

Данный ряд расходится, так как найденный предел ока­ зался больше единицы.

При исследовании ряда на сходимость может ока­ заться

Пт - ^ = 1 . п-»оо ип

В этом случае признак Даламбера ответа не дает, а потому для исследования ряда нужно применить

другие приемы.

 

 

 

У п р а ж н е н и я

 

 

 

 

 

Исследовать.

 

сходимость

рядов

 

 

 

 

 

1

^

 

 

1

 

^

3 •

 

 

 

 

 

 

 

1 1 - 2

 

 

•

 

 

 

п 2 "

 

 

 

 

 

2 2 2

 

I2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2

 

 

1

----- ---- -----и

( п —

 

)

ön + ■ •■

 

 

 

 

-

 

* ^ 5-2

 

т

 

 

 

 

 

2

3

1

2

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

§ 131] П Р И ЗН А К С ХО Д И М О СТИ ЗН А К О Ч ЕРЕД У Ю Щ И Х С Я РЯ Д О В 353

 

 

з. — ---- ь ——

 

+ —

 

 

 

 

 

 

{п+ 1

)

 

 

Л+І

+

•••

 

 

 

 

 

2 • 22

 

3 • 23

 

 

4 •24

 

 

 

 

2

 

 

 

4.

0,001

+

/ Щ

Г

+

 

/0,001

+ . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ /0 ,0 0 1

 

+ . . .

 

 

 

 

е 1 , 2 . 3 . 4 ,

 

 

.

П

 

0 1+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

102

 

 

 

3

 

 

+

п +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5- 2 + Т + Т + У +

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«

 

 

+

2

 

 

Ю

 

 

 

3'+

п\

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

. - Г + "Г-^

 

1- 2- 3

 

 

 

+

 

 

+

 

 

 

 

_3"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

 

З

 

Т +

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

8

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1

 

1

1 - 2

 

 

•2-3

+,

■

 

•2.3-4

•••

 

 

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

+

1-2

,

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2-3

1- 2- 3--4

п Ѵ п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / Г

 

 

З / З

 

 

4 / 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

22

1

 

23

 

 

 

 

24

 

+

•

+ — 4-

"•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2

"

*

 

 

 

, - т + т +

1

+ ж +

 

 

,1

+ ^ +

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

1

 

 

 

 

 

2 3

\— -— н

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

1

‘

 

 

. с ~

 

 

"

п (п

+ 1)

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-2 1 2-3 1 3- 4 1 4-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000

,1 2000

 

,1 3000

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 131.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000/1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак сходимости знакочередующихся рядов.

Знакочередующимся

 

рядом

называется

 

 

ряд

вида

 

и 1

— И 2 +

 

И 3 —

«4 +

 

Ы5 —

U 6

 

 

 

 

(1 )

 

 

 

 

+ . . .

+

( —

1)П + ' Мл

+

• • • >

где

щ,

и2,

«з.

— числа

 

положительные. Докажем сле­

Если

 

в

 

дующую теорему:

 

 

 

 

 

 

 

 

ряде

каждый

член

по

 

 

 

 

 

 

 

знакочередующемся

абсолютной величине меньше предшествующего и если

то ряд сходится.

 

 

 

Яlim->оо

ип =

0 ,

 

 

 

m

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначив буквой

четное

число членов ряда

(

1

), напишем сумму

тп

 

его

членов:

S,n =

И|

—

И2 +

И3 — И4 +

Иб — И6 +

. . -.

+ И

m - l

Um.

Эту

 

 

 

 

 

сумму можно

представить

в следующем виде:

S m

=

( и ,

 

и 2)

( и 3

 

н 4) - J -

( и 5

Ид) - J - . . .

"1"

(um— I

и

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 И..Л. Зайцев

354

 

 

 

 

 

 

 

 

РЯ Д Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

ІГЛ. XIV

или

 

Ui

(іІ2

 

Ыз)

(М

 

U ) . . .

 

(Цт—2

 

 

 

 

l)

 

^пг( )

S m -

 

 

 

 

 

 

4

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Согласнот

условию,

разности

в

скобках

 

 

 

 

 

 

равенства

(2)

положительны;

следовательно,

сумма

S m

с

возрас­

танием

возрастает.

Разности

в

скобках

 

равенства

(3) также положительны; поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S m,

 

возрастая

при

т -+ оо,

остается

меньше

 

up,

 

зна­

чит,

S m

имеет предел, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

1іш5т = 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

с

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S m

 

Мы

доказали,

что сумма

четного

числа

членов

имеет предел при

т —* оо.

т

— *оо

 

числа

 

членов

5 т+і

 

Докажем,

 

что

сумма нечетного

 

тожеп

имеет

пределS nпри

 

 

 

 

 

и

притомп ->

 

тот

же са­

мый. Отсюда будет следовать, что суммат

любого

числа

1

членов ряда

(1)

 

имеет предел при

 

 

оо.

 

 

 

 

(

Возьмем сумму

нечетного

числа

 

+ I

 

членов

ряда

);

 

тогда

 

 

 

 

==

S m

+ ^m+l- ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдя к пределу при

т ~* оо,

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim00 S m+I ==m-lim>00

S m- f

Hm

um+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m->

 

 

 

 

 

 

 

 

m->со

 

 

 

 

 

 

 

 

Приняв во внимание равенство (4) и условие теоремы, напишем:

lim S m + 1 = S + 0 = S .

т - > ОО

Таким образом, при всяком п, как четном, так и не­ четном, предел суммы членов ряда (1 ) при /г—► оо один и тот же, т. е. существует

П->

 

S n

= S .

 

 

■ lim

 

 

 

 

ОО

 

 

 

Следовательно,сходимости знакочередующихсяряд (1) сходится.

рядов.

комДоказанная теорема

 

служит

достаточным призна­

 

 

 

Смотрите также файлы