Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

^

g r

>

(13)

причем функцию

Sfxj

подберем из условия,

чтобы уравнение

для

функции

и(х,1}

имело вид ( 9 ) . Выразим для этого производные от

функции

1/(у(х),1)

черев производные

от-функции

-а.

vH =

Slx)tLu,

V^ =

S t x j - u ,

*

S'(x)U,

(14)

VJOT

5W -

+

2 5 (xf^^. + 5 "fxj

u .

Выберем

Six)

из условий

Для выполнения их достаточно положить

S W . / Ж ,

(15)

считая,

что х

и..-у связаны соотношением (10) . Уравнение

для

функции

и(хД) -при этом приводится к уравнению ( 9 ) , в котором

.сиу), если известна в точке

у„ информация

vl^.D^K

v^D'^ti)

(17)

о решении для уравнения

(8) задачи Коши с данными

viy

о) =о,

Ц1</,<» = # 'V"V^-

^1 8 ^

Покажем, что эта задача

сводится к уже рассмотренной обратной за­

даче для уравнения

( 9 ) , и некоторой дополнительной прямой задаче.

Используя выражения производных функции v(y,l)

через

производ­

ные функции и(х,1),

получим, что равенства (17) и (18) эквивалент­

ны следующим:

.

„

.

u M l - / A

ujo,l)=cip-fil)-S(oitib,

(17')

68

u(x,o>=o,

a t (x,o;= ^

-Six).

(18)

Если были бы известны значения

S'(o),

cfyj,

то функции,вхо­

дящие в правые части формул

( I V ) ,

(18')

были бы также известны,

и

задача отыскания

у(х)

для

уравнения (9)

нам уже знакома. Най­

дя

сЦх),

можно найти из равенства

(16) функцию

Six).

Действи­

тельно , уравнение

(16)

является дифференциальным уравнением вто­

рого порядка,

задание

S(o),

S'(o)

определяет в малой окрестно­

сти точки

х = о

единственное

решение этого

уравнения. Чтобы най­

ти

с(х),

теперь достаточно

решить функциональное

уравнение ( 1 5 ) ,

в

котором

х

и ij

связаны формулой

( 1 0 ) .

Покажем теперь,

что

cryj

и

S'lo)

можно найти через

зна­

чения

/„(о),

fzio).

Выпишем для

этого решение прямой задачи

(9),

( 1 8 ' ) .

Оно имеет

ввд

и

1 ^ ] =

zhp

+

2 й

я®-*1^А*

d T

( 1 9

)

tifc^l)

(х0=о).

Полагая в этом равенстве

х = о ,

1=о

и используя первую из фор­

мул ( 1 7 ' ) ,

находим

Отсюда

cW=ih,-

( 2

0 )

Дифференцируя равенство

(19) по

ос

и полагая

зг=о, 1=о, находим

второе

соотношение

cty-foo)

-

S'm-fjo)

=

о.

Отсюда

Итак, действительно

входящие в формулы ( 1 7 ' )

и (18')

константы

CHjJ,

S'($

можно легко

найти,

используя

информацию о прямой

задаче. После этого исследование обратной задачи

( 9 ) ,

( 1 7 ' ) , ( 1 8 ' )

проводится по уже изложенной "схеме.

К рассмотренной

задаче

о колебаниях струны могут

быть сведе­