Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

рой области

"ЗЭ(Т), мы можем найти решение в несколько более широ­

кой области

£)(Г+дТ). Действительно, гак как y>Cx,i) в облас­

ти ©(Т/

при этом известна, то можно преобразовать

интегралы,

входящие

в правые части формул (29) , разбив область

интегрирова­

рой -

область

д©Ф

=©(Т+лТ) \<D(T). При этом интегралы по об­

ласти

*)Ь(Т) представляют из себя известные функции, а интегралы

по области

A'&CTl

содержат в качестве малого параметра

размер

области AtxT),

пропорциональный дТ. Поэтому изменяя элемент

мы опять можем убедиться в том, что при достаточном малом

л Т

далее. При этом однако

остается открытым вопрос, можно ли расши­

рить область 'DiTl

до любой конечной области O t T j (.Tt>T).

Дело

в том, что величина

лГ

прироста Т

может неограниченно

умень­

шаться с увеличением числа шагов по расширению области.

§ 2 . Некоторые вопросы, связанные с обратной задачей

для уравнения колебаний струны

Остановимся теперь на некоторых

моментах, связанных с

обрат­

шх,1) - 4 -+ 5- ff

uli.vdi

dz,

( i )

UUl

<х,1)е<Ь,

прямой задачи, то есть функция

и(х,1)

от функции

(Цх). Выше мы

уже говорили, что уравнение ( I ) является уравнением Вольтерра вто­

рого рода и его решение можно получить при непрерывной функции

у(х)

в любой конечной

области,применяя

метод

последователь­

ных

приближений.

Решение

u(x,t)

зависит при это/,: от

ttfx,il = Jz<u„№,-1),

(2)

Jj f f f l - ( i H ( M )

fa

<*T,

(

3 )

В ряду

(2) только

функция

tL.lx^l)

зависит

от

о^эс)

линейно,

все же остальные

UJx,l)

(п>2)

зависят

от

ojx)

нелинейно. Вы­

делим явно линейную часть решения в уравнении

( I ) . Для этого до-

' статочно

сделать

замену'неизвестной

функции

и(ос,1)

на функцию

i r w - u W i - i ,

( х Л ) в ^

( 4 )

Уравнение для

vfci)

получится,

если

u!x,i)

выразить из

(4)

через

ubc,t)

и подставить в уравнение

( I ) . Оно имеет вид:

trcx,i)

= {

jj

9(f) d f dr

+ {

jj

щ,т)

d\ dr.

(50

Первый интеграл,

стоящий в этом уравнении справа

и дает

линейную

по

часть.решения, второй же представляет

из себя нелинейную

часть.

Решив уравнение

(5)

при заданной

функции

ojoc),

мы найдем

и(ос,1).

Тем самым определяется

нелинейный, оператор

который каждой функции

$

ставит в соответствие

функцию

о .

Из

уравнения

(5)

получаем

if{x,i)

= ^j]^)di

dz

+

{jj

qiybc^ydisdx.

(6)

Й(х,а^)

©fx,a;,U

Чтобы получить уравнение для функции ^(ос),

необходимо

теперь

ис­

пользовать информацию о решении прямой задачи. В данном

случае

она сводится к тому, что известны функции

1/(^,1),

,vx\'X0,i).

Следо­

вательно,

имеет место

равенства

l ^

- i

-

i j

j

qHldi-dx

+

±

jj

(ЦЯ-ВуЦ)

d$dt,

Id)

=

$ [ | E JJ

d\ d

t }

+

tftx

\\ qi\). bH

ds

dt]

Обращение перюго из них проводится

с помощью двукратного диффе­

ренцирования, а второго -

с помощью

однократного

дифференцирова­

ния. Этим и было вызвано

вычисление

производных

и и , a x i .

тора прямой задачи на том многообразии данных прямой задачи, ко­

торое представляет

из себя дополнительную информацию для

отыска­

ния решения обратной задачи.

Рассмотрим теперь случай, когда информация о решении прямой

задачи задана

не в

точке ж , в которой приложено сосредоточенное

воздействие,

а в некоторой другой точке х^х„.

Пусть для

опреде­

ленности х 1 >ос 0 , и пусть

известны относительно

решения прямой за­

дачи следующие функции:

ulxj)

=

ftd),

(7)

Оказывается,

что в

этом случае задача определения функции

^(х)

щая:

можно

задать

"почти" произвольно непрерывную функцию оЛх) на

отрезке txv,xjl

тогда вне этого

отрезка

в достаточно малой об­

ласти

функцию

q[xj

можно найти по данным

(7)

однозначно. Пока­

жем,

что это действительно

так. Заметим, прежде всего", что функ­

ции

и

fzU)

отличны от

нуля

только

при

^>эсг зс0 , так

как

при

4 < х г х о

точка

[х{,1)

лежит

ниже прямой

т = £-х„,

а в

этой

области, как мы установили

выше,

u(x,i)

=

o.

Рассмотрим

теперь

при

4 > X i - x 0 .

Область

зависимос­

ти при этом, как следует из

уравнения ( I ) ,

есть

прямоугольник

• D f r ^ x ^ U

При стремлении

I

к

х,-х0

этот

прямоугольник

вырож­

дается в отрезок прямой, стягивающий точки

(х^о), (ас,,х± -х„). Реше­

ние

и(х,4)

в точках

этого

отрезка

тождественно

равно

1/2,

а зна-

чения производных: их, щ

соответственно

равны:

х

ОС.

Х ^ Х „

Как видно из этих формул,

и,^,-^

зависят в точке

(ое1,ор,-эс0) от

значений

q(x)

на целом отрезке

[х0 , x,J.

При ^ X j - x , ,

функция

u(xlli\

зависит от

<^(х)

на большем отрезке, а именно, на отрез­

ке pb^ci,

SijLjpB±i~J t

содержащем внутри себя отрезок

[х^хД

Поэтому,

если

задать

q(x)

на отрезке Гх„,хД

то для х .ле­

жащих вне этого отрезка,

мы можем найти

<цх), используя

информа­

цию ( 7 ) . Действительно, поступая как и выше, мы можем легко

по­

строить уравнения второго

рода для

qlx),

замыкающие систему

урав­

нений для

и,и{, у.

Эти уравнения будут иметь вид

yte) = FLm - 4 J С£ШЩ($, 2х -х„-|) сЦ,

где

x < x„

£7x)

= 4-[/< ( 2 x - x r x J

+• / 2 ( г х - х , - х д ] T

f7(x)

= ^ [ / / ' ( - z x + x ^ x . ) - £ ( - г х + х , + - х „ у ) .

Уравнения (9) в совокупности с уравнениями для и, и± позво­

ляют найти а,и11(^7

если на отрезке

Гх„,х,) функция урс) зада­

/ / t e - x j =

) Q U ) C U ,

(10}