Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

канонического

вида.

Задача

отыскания функции

u t t , i i ,

удовлетворяющей системе (3),

по некоторым исходным данным, при известных матрицах %, А

и век­

торе F, представляет из себя прямую задачу для системы ( 3 ) . В

дальнейшем мы будем считать матрицу Ji

постоянной

и такой,

что.

все Kl4O

(i

= 1, г, ,..,п).

Рассмотрим при этом предположении как

ставится прямая задача для системы (3)

в области

£) = {

o^xnL,

о & i <=»=>}.

Чтобы найти решение системы (3) внутри этой области,

необходимо

задать начальные условия при

1 = о ••

uL(x,o) = <pL№,

oaoc^L,

i=i,z,...,n,

(4)

и граничные условия при х = о

и x=L . При этом, чтобы получившая­

согласовано

со

знаком

н г . Пусть для

определенности первые S

зна­

чений К; положительны, а остальные - отрицательны:

К, >0,

i = I, 2,...,

S,

О*. S « П,

(5)

К, <0,

t =

5 + J , П .

Тогда на левой

границе

х = о

можно задать

граничные условия

в виде

п.

(6)

a.toj)

+ZZ

cc,.di

UjioJ) = Id),

а на правой

cc = L

в виде

S+d & < * п.

s

17)

Щ1Ц)

+H

ocLA)u.[L,l)

=

Id),

В этих формулах

лц(1>,

f-M^

~

известные функции. Поставленная

считать, что

система

(3) однородна:

F = o

и d=Ji(x).

Обратная за­

дача по отношению к однородной

системе (3)

заключается в отыска­

нии матрицы

Лш

на отрезке

[о, JLJ

при заданной

матрице Ж. Что­

бы найти матрицу

d(x),

необходимо задать

информацию о решении

прямой задачи для

системы ( 3 ) . Причем ясно, что для

однозначного

прямой задачи (3) - (7) рассматривать значения

тех компонент

реше­

ния

и(х,1)

на граничных многообразиях х=о

и

X = J L , которые

дополняют

граничные условия ( 6 ) , ( 7 ) . А именно,

естественно

было

ба

задать

u.\io,l) + Z T

OL[A)-uf(o,l)

= t'(i),

i&i + s.

(10)

j° ~i-

"Q

"'

"

1

Естественно,

что эти

n прямых

задач чолжяы быть такими, чтобы их

решения были линейно

независимы между собой, иначе система функ­

ций

i,t =l,z,...,n

будет линейно

за ни зима и размерность

полезной информации будет меньше, чем п-п.

Линейная независимость

решений обеспечивается выбором начальных данных.

Для упрощения выкладок,

мы рассмотрим специальный вид условий

( 9 ) , ( 1 0 ) , а

именно, пусть

все

о с ^ } = о ,

а функции ф?(х), /се(1)

имеют вшт

^

-

t

f

w

(

i

2

)

L

o,

i

41.

Анализ обратной задачи при более общих условиях

( 9 ) , (10) не пред­

ставляет

особых затруднений

и проводится по той яе

схеме.

Будем в дальнейшем матрицу

Л(х)

(

а^Ш,

i,j=i,2,..,n)

счи­

тать кусочно-непрерывной на отрезке

lO,Ll

, допуская конечные раз­

рывы в конечном числе

заданных

точек

зск . Перейдем теперь к постро­

ению решения прямой задачи для однородной системы ( 3 ) . Рассмотрим

для этого

i уравнение системы

(3)

(F-o)

Его левая часть вдоль характеристики,определяемой уравнением

. &-«..

есть полная производная по переменной

4 . Этим обстоятельством мож­

но воспользоваться, чтобы перейти от системы дифференциальных урав­

нений к системе интегральных

уравнений. Рассмотрим

точку

( a ^ J e ©

3 c = x 0 f / i . r i - i j .

ЦБ)

Обозначим через

( х , , ^ ) ту точку

пересечения этой

характеристики с

границей области

£>, для которой

4t

<• 40 . При я £ > о эта точка

лежит либо на отрезке

10,L]

оси i = o , либо на прямой

х = о , а

при

к^о

либо на отрезке Lo,Ll,

либо на прямой

X = J L .

Интегри­

руя уравнение (13) по характеристике (15) от точки (ос^,4х)

до точ­

ки

(х,,40),

находим

ajxjj

-щ ujj

= J Z J

ач (х„+

-tj)• и.

^(4-4J,

I) di.

( 1 2 ) , получаем для определения

решения ие(х,1) систему

интеграль­

ных уравнений

х

I, l = i,Z,

fl.

В этих уравнениях через oc^x^l

обозначена координата,

отвечаю­

щая абсциссе точки пересечения

i характеристики,

проходящей че­

рез точку (х,1),

с границей области О :

(17)

w/te,i) = ^ aeL(x,i),

(18)

i =

.... 5 ,

О ^ i «

я1

>

решение

ae(x,l),

wf te,^)

в области

Из структуры этих систем

видно,

что

a{(x,i)

будут

непрерывны в области <С>, а функции

wflx,-i)

-

кусочно-непрерывны. Конечные разрывы для функций

w/foc, I)

возможны только' вдоль

характеристик,

выходящих

из

за­

данных

точек

(сск, о ) ;

в которых

могут

иметь разрыв коэффициенты

матрицы

d(x),

и вдоль характеристик, выходящих из угловых точек

(0,0) (Л,

0 ) . Отсюда

следует, что функции

cpfd),

i, 1=

itz,...,п,

должны быть непрерывны по i

в области

I

г= о, а их производные ку­

сочно-непрерывны: они могут

иметь нонечный разрыв в конечном

чис­

теристик

с границами

х=о,

x=L.

Используя

систему

уравнений

(19)

и данные

( I I )

о решении прямых

задач, можно, получить

дополнитель­

ные соотношения между atj.(x)

и

wf(x,i).

Для этого, полагая

в

формулах

(19)

х = о

для

s+iaian

и x-L

для

1 = 1,т., ....

s,

находим

В этих

уравнениях

через ф,1^)

обозначены производные

по I

от

(ffd).

Произведя

в первой группе

уравнений (20) замену

^ = - - ? - 1

а

i