Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

во второй

замену i=^~-}

приходим к следующим

уравнениям:

аа(х)=р.г(ас; + f IПay(t>w/($,

-xi) df,

(21)

в которых

обозначено через

? = ^,2, ... ,П,

(22)

(23)

Уравнения ( 1 9 ) , (21) образуют

замкнутую

оистему уравнений относи­

тельно

неизвестных

vj?(x,b,

аи(х),

i,l=i,2.,...,n.

Рассмот­

рим теперь область

ФШ,

построенную следующим образом.

Из точек

( 0 , 0 ) ,

(L,o)

плоскости

x,i

выпустим характеристики,

уходящие

от соответствующих

точек

внутрь области <£), и имеющие наибольшие

и гс=о

соответственно.

Из получившихся точек пересечения С и di

выпустим внутрь

области

характеристики с наименьшими углами

наклона к оси х.

В результате

мы получим два четырехугольника

OJIBL

и OfXL (см. рис.3). Замкнутое множество точек, получивши­

еся в результате

объединения этих

четырехугольников, и назовем об­

ластью

£>(/,).

t

с

\

/

• О ч

линией

OAJfCL.

Углы

дятся

из

соотношений

ctq

в. = тйг

к,

,

eta ос. =

max

к. ,

cig

атйг

\к.\,

da

OL, =

m a x

| H J .

Уравнения (19), (21) показывают, что для

точек

(xti)

е ©(/L)

значе­

ния искомых функций

v/hx,l),

auix)

в этих

точках выражаются

только через самих себя в области

4D/L).

Заметим,

кроме

того,

что при достаточно малом

L

уравнения ( 1 9 ) ,

(21)

содержат

L

в

качестве малого параметра. Для уравнения

(21) это

очевидно,

а

уравнение

(19)

мы можем преобразовать к виду

уравнения

с малым па­

раметром

заменив aulx),

входящие

в эти уравнения,

правыми частя­

ми соответствующих равенств

(21) . Проделав это,

прядем к

системе

уравнении вида

Х-К..1

wfeu = gt

pL[lx-HJl

+|- J £l

ayw-wfa,

-x})dt- +

i,£=i,2

n,

(oc.-t) e <DcL).

Эта система уравнений уже содержит в качестве малого параметра

число

1~ . Воспользовавшись этим обстоятельством, нетрудно

показать,

что система уравнений

( 2 1 ) ,

(22)

при достаточно

малом

L

имеет

о/х^)=

cfii,

i,£ = i,i, ..

. , п ),

определенные

в области

задав их компоненты равенствами

yfi

(х, h =

w.l(x,4),

flt (x,i)

s fu (x) =

alc

ix).

Введем на множестве таких функций норму, положим

и рассмотрим множество функций

G, удовлетворяющих

неравенству

(23)

где функция

q°lx,l) = l(ju, flu,

i,i=i2,...,n)

определена форму-

лами:

Систему уравнений (21), (22)

запишем в виде

9

= и9>

( 2 5 )

где оператор U = (UU)U;*,

i,l=i,z,...,n)

определен равенствами

(26)

Оператор

[У переводит множество кусочно-непрерывных функций с

об­

ластью определения

'O(L)

в себя. Покажем, что при достаточно

ма­

лом

L

он является

на множестве G

оператором

сжатия. Убедимся

вначале

в том, что из условия

^eG

следует, при достаточно

ма­

лом

L ,

что

UgeG.

Действительно, для любого

^eG

имеет

мес­

то

оценка

Щ1 6 Ц1+М

= Ж.

В го же время для любых

ix,i)e

<D(/J

и любого

geG

имеют

мес­

то

неравенства:

ч а д

4

г

то llUg-g°H

то есть

ЩеСг.

Возьмем

теперь любые функции

y e G

и оценим норму разнос­

ти

.

Используя, что

^

- П

Р И

,

г

(

М,.

L<L=mm

znlJU+iip)

ШМ+nfll)

оператор

U

является

тем самым на множестве

G оператором сжатия.

к решению определяется

отношением

^/L".

Выбирая константу

Ж,ос­

тавшуюся произвольной,

равной

llgl,

получим оптимальную оценку

для L* . Максимальное

значение

I*

равно

L

=

— —

127)

L

8nsfit

^ "

При этом множество G

есть шар

Ц~$°И^

Сформулируем полученный результат в окончательном виде.

ТЕОРЕМА. Для существования единственного решения обратной за­

дачи в классе кусочно-непрерывных

(в

указанном выше смысле) на от­

резке Lo,U

матриц

Я(х)

необходимо,

а при выполнении условия

I

<

к°

где

llq'll = max

sup

1ф£ U)l,

к„ =

min

IHJ

,

и достаточно,: чтобы функции

tpfd),

i,£=d,z,...,n,

задаваемые в

качестве информации о решении прямых задач- для системы ( 3 ) ,

были

о 6 4 4 L//K;/. При этом для элементов ait(x)

матрицы Л(х) спра­

ведливы оценки

i

(28)

« i * s,

колебания

источником

возмущении, сосредоточенным в точке ас°е©, а

в точках

границы S

области?!) фиксируются те моменты времени, в