Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

доходит до точки

i

= ( $ i , ! г , У

по такой кривой, на которой

реализуется

минимум функционала:

где

Цх°§)

-

произвольная

гладкая

кривая, соединяющая пару то­

чек

х° |;

ds -

элемент

ее длины. Легко понять, что функционал

( I )

дает

время пробега

сигнала по кривой

L(x°§).

Та кривая

Llx°^),

на которой

реализуется минимум функционала ( I ) , называ­

ется лучом, соединяющим точки х° £.

Будем ее в дальнейшем обозна­

чать

через

Л х ' й . Кривая

Г(х°£)

является также

геодезической

линией по отношению к метрике, в которой

элемент длины дуги cte в

точке х

подсчитывается по формуле

dz=-^-.

(2)

VIX)

При этом длина

геодезической Г(х° £) в такой метрике есть время

пробега сигнала по кривой

Г(х°

Обозначив это время через

Т(х° f),

находим

волн, совпадает со всем пространством х.

Предположим, что урав­

нение кривой

Г(х° f)

может

быть записано в виде, разрешенном

относительно

переменных

x , , X j .

В этом случае удобно выделить пе­

ременную

х3

, обозначив ее через % , так что в дальнейшем

х —

=1x^x^,2).

В соответствии

с этим обозначим

x°=Cx°,x^,z°), $ =(^,^,3) .

Тогда, в силу сделанного

предположения, уравнение кривой

Г(х'$)

тмеет вид

Условие,

что кривая Г(х° $) проходит

через точки х° f,

означа­

ет, что

выполнены равенства:

< - ^ ; х

П ) ,

(5)

3lL)

= JFlz,

х/я, хг(х),

x^iz),

x^iz))

dz

(7)

достигает экстремума, обязаны

удовлетворять

уравнениям

Эйлера:

Мы можем записать

функционал

( I )

в виде

( 7 ) , если

воспользуемся

параметризацией кривой

Цх°f)

с помощью переменной

z . Тогда

Функционал ( I )

примет

вид

л

t(L)

=jп{хщ

XJ.D?.)-

]{

+ {х[ту-

+

[x^zij'-'dz.

(8)

Здесь через

п(х)

обозначена

величина,

обратная

скорости в

точ­

ке х

:

•

( 9 )

Уравнения Эйлера для функционала

(8)

записываются

в следующем виде:

ГГ.( х;r+

(х^-п

- i

- f

n X

i

===^\

=

о,

( ю )

функции

обязаны удовлетворять

уравнениям

(10)

и условиям

( 5 ) ,

( 6 ) . Таким образом,

чтобы найти уравнение

кривой

Г(х°$), тре­

буется решить для системы уравнений

(10) краевую

задачу. Заметим,

что выполнение уравнений

Эйлера

(10)

на

экстремали

Г(х°£)

явля­

С геометрической точки зрения канонические переменные

pi,

t=i,z,

характеризуют наклон в точке х касательной к лучу

Г?х°#.

Поэтому в вариационном исчислении переменные pir

называются фушщиями наклона.

С помощью новых переменных величин

рг система уравнений Эйлера

может быть

записана в виде

симмет­

ричной системы уравнений первого порядка

*

-,

,

i=i,Z

(12)

Г(ХГГ£)=

Т(Г(Х° £ )) .

Покажем теперь,

что градиент функции т(х° f), вычисленный

при

фиксированной точке

зс° обладает

тем свойством, что он направлен

в точке £

по касательной к лучу

Г(х'

$)

и по величине

равен

п(Ю. Найжем для этого

частные производные

от функции r ( x ° |) по

переменным ilt\lty.

При этом мы должны подставить в формулу

(8) вместо

x-jz)

правые части равенств

( 4 ) , которые и определяют

уравнение луча

Г(х.° £).

Проделывая это и дифференцируя получив­

шееся равенство,

находим

них в виде

В результате

получим

T f = n

эг'

' aft

П ЭХ

dz

7 } Эк

Но так как функции xL = £ (z, x°

f)

удовлетворяют уравнениям Эй­

лера (10), то выражения, стоящие

под знаком интеграла в квадрат­

ных скобках, обращаются в нуль

и интеграл

пропадает. Входящие в

эту формулу производные

K,i=i,z,

можно легко вычислить,

a h '

используя соотношения ( 5 ) , ( 6 ) . Дифференцируя их, находим

21 в

=0,

Не

at.' lz=z°

z = z"

(13)

э

3^1

3 5

3 Z

Здесь

8"£ к

-

символ Кронекера. Используя эти

соотношения,

получа­

ем

1 = 4 , 2 .

(14)

Аналогично

дифференцируя равенство

(8) (при

1 = Г(х.°$))

по пере­

менной

i

и выполняя интегрирование

по частям, приходим к выраже-