Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

ъг

эг

эу

которое,

используя

равенство

(13), легко

преобразовать

к виду

i

(14*)

Сравнивая

равенства

(14), ( 1 4 ' ) , мы видим, что компоненты вектора

отим^ rte°f)

равны произведению

л(£)

на соответствующе

кошоненты единичного вектора

касательной

к кривой

Г7х°#, построенной в точке £ . В результате получаем

формулу

ywdf

rtaf,ti = n№

Г

(15)

Отсюда вытекает, что

lgvxdt

t(x;$)l =

niti.

U 6 )

I * / ит л I ат-|2.

(16')

Tlx'xV^O,

(17)

условие Коши. Если мы захотим найти решение уравнения (16')

при

условии (17), то в соответствии

с теорией уравнений первого поряд­

ка мы должны выпустить из точки

х° характеристические линии урав­

нения ( 1 6 * ) , при этом вдоль каждой из характеристик уравнение

СГ6}

и

т(х°,находится

путем вычисления интеграла по характерис­

тике, соединяющей точки

х°,$. Легко убедиться, что система урав­

поля времен

т(х°$)

можно рассматривать как задачу

Коши по от­

ношению к уравнению

(16) . Из сравнения формул.(II)

и (14) видно,

что

канонические переменные pt

, 4 = i , 2,

приобретают также

смысл

частных производных

от функции

т(х°х)

по переменным

х

x z :

Р,=^т(х;х>,

i=it2.

(18)

Эти равенства

играют

существенную роль при решении одномерной об­

ратной кинематической задачи.

Рассмотрим

теперь поверхности уровня

5+={х:

V(X°X)=i,

i>OJ.

Эти поверхности представляют из себя поверхности равных времен.

Время пробега

сигнала от точки х°до произвольной

точки х

этой

поверхности постоянно и равно

4 . В геометрической

оптике

такие

поверхности называются фронтами. Если в момент времени

1 = о в точ­

ке

х° начнет действовать

источник возмущений, то в момент

времени

4

возмущение

от этого источника дойдет до точек,

принадлежащих

поверхности

5i

. Точки же, лежащие вне поверхности

Sit

этого

воз­

мущения еще не почувствуют. Из формулы

(15) следует, что фронты и

ент функции всегда направлен по нормали к поверхности уровня,

в

то же время формула

(15) показывает,

что градиент функции

т(х°х)

направлен по касательной

к лучу

в точке х .

Отсюда и следует, что

луч пересекает

поверхность St

под прямым углом.

Перейдем теперь к постановке обратной кинематической задачи.

Мы уже выяснили, что прямая кинематическая

задача,

заключающаяся

в построении поля времен

т(х° х/

пробега

сигнала

от точки

х°,

сводится к решению задачи Коши (16) , ( I 7 J . Обратная

задача

может

быть сформулирована

по отношению к уравнению (16) как задача отыс­

кания функции

п(сс),

если функция

т(х'х)

известна в точках

некоторой поверхности S

, точка

х° при этом может

также пробе­

гать некоторое множество

точек пространства

х . Мы рассмотрим

здесь

конкретную постановку одномерной обратной задачи. Л

именно,

будем

считать, что полупространство

пространства сс

^ x ^ x ^ z )

заложено

средой, в которой

скорость передачи сигналов

за­

висит только

от координаты

z .

Точка

х°

фиксирована, для

удобст­

ва мы будем

считать,

что она совладает с началом координат. Требу­

ется найти функцию

nlz),

если иззестны времена пробега сигнала

от

точки

х°

до произвольной

точки плоскости

z-o.

Переходя к исследованию этой задачи, заметим, пренде всего,

что лучевая

картина

(фронты и лучи)

будет

симметрична

относитель­

но оси

z . Ясно, такке, что луч, со единящий

точку

сс° с точкой сс,

будет лекать

в плоскости, проходящей через точки х° х

и ось

%.

Поэтов

во всех плоскостях,

проходящих через ось

х,

лучевая

кар­

тина будет

одной и той же. Б связи с

этим разумно перейти к цилин­

дрической

системе координат

7., (р, %

(угол

ср

отсчитывается

от

оси

хл

к оси а^) и рассматривать поведение

лучей

/"7х°х)

в фик­

^ £ =0

&х -

Р _

-

(20)

Здесь переменная величина р

связана

с каноническими переменными

Рп

pz

соотношениями

p^pcoscp,

p^psincp

и,'

следовательно,

Поэтому

из формулы (18) в частности

следует

р

- ж

-

( 2 1 )

Я = ( , P d z

(z>0).

(22)

Нетрудно после этого найти время пробега

вдоль луча от точки ос°

до точки х

. В дальнейшем,

так

как

точка

х"

фиксирована

и совпа­

дает с началом координат,

мы будем

обозначать

т(х°х)

через

v{i,z).

Вычисляя элемент длины дуги ds, находим

и, следовательно,

Z

пгИ)

dz

(23)

-

1J

M*(Z)

- р г

(12)

были получены в предположении,

что

уравнение луча

можно

за­

писать с помощью параметризации посредством координаты

Z. При

этом неявно предполагались также, что вдоль луча

dz>o,

так

как

только

в этом

случае

ds=

+yj i

+[x;fz)]2

+ [x^(z)]r-dz

будет действительно иметь смысл дифференциала длины дуги

луча.

В

тех же точках луча, которые соответствуют

dz<o,

мы должны были

бы в последнем выражении изменить знак с

(+)

на

(-). Для

уравнений

(20)

это означает,

что в

тех

точках

луча,

где ^ | < о ,

нужно

второе

из соотношений

(20) заменить на соотношение

^1

= _

Р

d z

~

\|n* (z) - p 1

"

В связи с этим полученные формулы (22), (23) верны только в тех

точках луча, в которых возрастанию

z

соответствует возрастание 7 .

Между

тем

сама постановка обратной

задачи предполагает,

что

суще­

ствуют лучи, которые соединяют точку

х °

(начало

координат)

и точ­

ку х

, принадлежащие плоскости 2 = о . Каждый такой луч лежит

в пло­

скости

cf>=consi.

Следовательно,

если

он не совпадает с отрез­

ком прямой,

стягивающей точки

х°=(о,о,о)]

х

= ( х 1 ; х г ,о),

то

он

за­

ходит

в полупространство

z>o

и возвращается обратно

на

плос­

кость

Z = O , T O

есть

имеет

вид,изображенный

на

рис.4. Обозначим

луч,

стягивающий

точку

плоскости

z = o ,

отстоящую

от

начала

координат

на расстоянии

р,

через

Г(р).

Тогда

данные обратной кинематичес­

кой задачи

заключаются в том, что нам известна функция

T(J>,0)

= Vjpj.

(24)

О

г*

?

Рис. 4

Функция т„{р)

в сейсмологии

называется годографом. Чтобы функ­

ция

z0(j>)

действительно

несла

информацию о коэффициенте

п(х)

при

%>о,

необходимо,

чтобы лучи заходили

внутрь

полупространст­

ва, в этом случае время пробега действительно характеризует

ско­

рость внутри области

z^o.

В связи с этим необходимо выяснить,

когда

же лучи

Г(р)

будут

заходить

внутрь

полупространства. При

выяснении этого вопроса нам удобно будет воспользоваться новой

формой уравнения луча

Г(р),

которая

следует из

установленного

факта, что

вдоль луча

р = const,

и соотношений

( I I ) :

р = р1

cos ср + р, sm07 = П17)-

'

Y

1

=

= fUZ)

dz

=

n(Z)-

Sln[T,%).

d

Z

Итак,

уравнение

луча

может быть представлено в виде

n(zy sin (E°z) = p.

Отсюда ясно, что параметр

р

можно

связать

с углом <х -выхода

луча,

относительно оси

z ,

из

начала

координат:

р = mo)-

slna.

(26)

Чтобы луч,

вышедший из точки. х °

под

углом

а<7 Г /г, вернулся на

плоскость

z = o ,

необходимо, чтобы для него

существовала некоторая

точка

заворота

я * . В этой

точке