Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

гольма второго

рода

x(s)

= х"{5)

+ Л •

l)xd)

di

( 5

)

о

относительно неизвестной функции

x(s).

В этом уравнении

Л

-

числовой параметр,

x°(s),

J£(s,l)

- заданные функции, непре­

рывные на

отрезке

[oj]

и в области

o<.s,

соответст­

венно. Обозначим через

d

оператор, определяемый

правой частью

равенства

(5)

Лх{з)

=. x°(s)

+ Я

j Ui(s.l)xU) di

(6)

о

Лз непрерывности функции

x°(s)

и ядра

di(s.l)

уравнения

(5) следует,

что оператор

Л

переводит элементы

хеСгч п

в

элементы

того же пространства. При этом,

если

i

Щ- тшх

\ \li(s,l)\di

< 4 ,

(7)

О

iS

t1

о

то оператор

d

является

оператором сжатия. Действительно,

возь­

мем любые две непрерывные

функции

xtts),

x 2 ( s ) .

Тогда,

из

формулы. (6;

следует:

(

О

1

$

|Л|- т а л

f

1'Я(5,1)1оИ • тсих

\хШ-х^1)\

• rruvx [ jOi(s,i)jd.l

• Их -х IJ

тсих

о

O S S S 1

0

имеет единственное непрерывное на отрезке

Lo,il

решение. Это

го рода относительно неизвестной

на отрезке

1о,И

функции

x(s)

arte) = oc°tt) + {

Ш$Л) x(i) di.

(8)

Будем также считать, что

cc°(5j

- непрерывна

на отрезке

а ядро непрерывно в области

o s i ^ s

<ц.

Так

как

уравнение

(8)

является частным случаем уравнения ( 5 ) , то сразу ясно, что яри

выполнении условия

\X(s,l)l

<i

(9)

это уравнение имеет единственное непрерывное на

отрезке

[о,

решение. Однако легко показать, что уравнение (8) имеет единст­

венное непрерывное при

o < s « j

решение,

если неравенство

19)

и не выполнено. Действительно,

пусть

тал

)Ж(в,1)\ =

d>i.

(Ю)

Разобьем

тогда

отрезок

[о,{]

на конечное число

отрезков

f 5 K , 5 K , t ] ,

к= о, 1, г,

;

s „ = o ,

s w = - i ,

длина

каж­

дого из которых не превосходит

*/d . При этом задачу решения урав­

нения (8)

на отрезке

[о, i]

можно рассматривать как Л

различ­

ных задач:

ocfs) = x°js)

+

}

"Jiis.l)

sell)di,

( I I )

S K

где

x°K(s) =

x'tsj

+ j

U£(s,l)x<t)dl,

(I2)

О

к = q

i, 2, ... , M-i .

Уравнения

( I I )

должны решаться последовательно

в порядке

возрас­

тания индекса

к. , при этом на

каждом шаге функции

a^(s)-

из­

S K « S « S K ^ ,

K = 0, 1 , 2,

Jf-i

является в пространстве

f [ 5 M , s K ^ J

оператором сжатия.Дей-

сгвительно, для любых

cCj, эс2 е

CcsK, S K H ]

s

J^x,

- 4^г«

=

I J X(s.l)[xt{l)

-

xz(l)]di

I <

< maoc

J i^f(5,f)Ul

| x -

x

|| <

« / 5 ^ , - s J maoc

I T f ^ l - f ^ - x j

=

d-ls^-sj-ixt-xj

.

Но по условию разбиения

•

^ ( s ^ - . s j

<i

для всех к . Поэто­

му каждый из операторов

Лк

действительно является

оператором

сжатия. Решая последовательно

уравнения ( I I ) ,

найдем единственное

непрерывное решение уравнения

( 8 ) .

Заметим, что

если к уравнению

(8)

применить непосредственно

сходится сразу

на всем интервале [o,iJ

(см.[104,110,137]).

3 . Рассмотрим нелинейное

интегральное уравнение

осМ = А- J3T(s. i x(l))dl,

(13)

о

где

функция

I, х{1))

непрерывна

по совокупности

аргумен­

тов

в области

OiS,{ $ i,

i l l ,

и пусть в этой

области

11^ эьлх) | ^ Q .

(14)

резке

[o,i]

решение,

удовлетворяющее неравенству

I x u i / ,

если

<

ПЫП | X ;

—

— |

(15)

max j max

№(s,t,x)!tW

Пусть

^ -

оператор:

Возьмем в пространстве

Clo,i]

любой

элемент, принадлежащий

шару

5fo, М)

радиуса

М

с центром в точке

о

. Покажем,

что оператор

с#

при условии

(15) переводит

этот

элемент

в

эле­

мент .также принадлежащий шару

S(o, М).

Действительно,

i

MacL

« Ш-

та-х j |ЯМ,а:^Ы<й

4

О

о

I

<

Ш-

max

}

max

lX(s,l,x)l

ctt

< J/.

Покажем теперь,

что при выполнении условия (15)

оператор

Л

на

шаре

S(o,JUj

является

оператором

сжатия. Пусть

х±,хг-любые

два элемента

шара

S(o,JU).

Тогда

Щ - i o r J

=Ш- max |

feftU*.tftf- J t l s , l . x , a i ) ] di

I 4

=ё lAl-tnax

j lf=. 3¥(^,x)l

I • /эс,(1) -

a:

N)| eH

^

Здесь

cc*(l)

-

фиксированное число, при каждом фиксированном i ,

заключенное между

числами

x^l)

и

хг(1)

(средняя точка

в тео­

ществовании единственного решения уравнения

( 1 3 ) . Отметим,

что

вместо интегральных уравнений ( 5 ) , ( 8 ) , (13)

мы могли бы рассмат­