Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

менным s1,s1,...,sri,

а 8

- проекционный

оператор,

ставящий в со­

ответствие

функции vc(S) ее значения на множестве

г о ч е к ^ е ^ :

8 x = a : f s ) ,

seC^ .

(22)

Тогда для задачи

( I ) , (2)

равенство ( 5 ) , с использованием функции

Грина

G^(s,s°) приводится к виду

j

q(s')-f(S°

5)ds° = 0,

S e ^ ,

(23)

где

J)(s°s)

определяется

формулой:

pis;s)=G4tis,s°)-^^)-(r^(su)<ii.

(24)

уравнению

(23), были получены при исследовании обратных

задач для

уравнения

эллиптического типа

в работах [77, 78, 84, глава У] .При

этом для получения уравнения

типа (23) были использованы

некото­

осуществлено и для некоторых

нелинейных операторов

. Рассмот­

рим семейство операторов {Ля}

следующей структуры. Пусть i*J -

линейный оператор, действующий из пространства

X в пространст­

во Ф

непрерывных

векторных функций ср(4), ср=1ч>11...,<рп), ^= Ц*,---,^К),

определенных в области

содержащейся в евклидовом пространст­

ве

Ек;

Fz - линейный оператор из Q в

пространство вектор­

ных функций ф(1),

ф=[ф±,фт),

I

=Ui,...,

Is),

определенных в

области £>г с Es;

f(<p, ф) -

непрерывно дифференцируемая функция

своих

аргументов,

определенная на

Еп* Ет=

£"*™ Тогда при лю­

бом

о,е&? определен оператор

А х =

А£<ЗД,

(25)

действунций лз X в Y = C7£),). Подобную структуру

имеют диффе­

ренциальные и интегродифференциальные нелинейные

операторы,обычно

рассматриваемые в приложениях.

Рассмотрим пару точек

^p*<pJ j,

((р2ср"-) в пространстве Е Л + т

и обозначим через Р=(РЛ,...,

Рп\

S=(S,,...,Sj\ непрерывные

функции этой пары точек, компоненты которых определены равенства­

ми:

i = 4 , 2 , . . . , m .

Р,

При совпадении

пары точек

значения функций

S

понимаются

как

соответствующие

пределы правых частей.

Обозначим символом <ср*срг>,

<ф*фг>

скалярное произве­

дение

в пространствах Еп,

Ет

Т е о р е м а

4 . Пусть

Ё> линейный оператор;

семейство

опе­

раторов

имеет структуру

(25)

и удовлетворяет

следующим усло­

виям:

1) для любого qe-mcQ

существует обратный

оператор

;

2) при любых

%,t\z£fn.

линейный

оператор

K

l J

' % x >

\яР

**<Р(%Ку*

%Я*>

( 2 6 )

имеет

обратный

K j . ^ .

Тогда

для

единственности

обратной задачи ( I ) ,

(2)

на множест­

ве та

Q

при фиксированных

</eY и

х е %

достаточно, чтобы

двупараметрическое

семейство линейных

операторных

уравнений

\ ь Я - ° '

( 2 7 )

Г Л - е

п Р ° а з В 0

Л Ь Н ы е

элементы

множества *п, а

не имело нетривиальных решений вида

q = qi-q^.

Доказательство этой теоремы проведем рассуждением от против­

ного. Допустим, что существует пара

элементов

и

причем

9*^9* такие, что оператор

В ставит

в соответствие

решениям

уравнения

( I ) ос= &^Ц, х=

Л'Ягц

один и тот

же элемент к.

Покажем, что в этом случае уравнение

( 5 ) , отвечающее

этим элемен­

там

9i,9z>

имеет решение

^ t < 7

.

Отсюда

и будет следо­

вать

справедливость теоремы.

Рассмотрим

разность

С одной стороны эта разность равна нулю, гак как каждое из

выра­

жений порознь равно

одному и тому же элементу

% . С другой

сторо­

ны, иолольэуя структуру (25) операторов Л^,

мы можем преобразо­

вать эту разность к

виду

Используем кроме того, что

х^ = Л ^ . у К=4,2).Тогда из получен­

ного тождества и равенства

126) следует

г+< s

ч ,

£ ъ . &£у. £9J. 5 9 > - *•

Обращая в этом равенстве оператор

Н ? 1 ? г и используя очевидное,

в силу линейности оператора

В ,

равенство

0 х = о ,

получаем, что

является решением уравнения (27) . Причем

Ч'ЧгЧг^0-

^ т

самым теорема

доказана.

Теорема 4 по формулировке похожа на теорему I , роль уравне­

ния (5)

здесь

играет уравнение

( 2

7 ) . Естественно,

что по отноше­

нию к теореме 4 имеет место следствие, аналогичное

следствию из

Х-

пространство непрернвно дифференцируемых функций

x(s,s°),

s

= s ^ n ^ l

S'=(s",s^),

определенных в области

<0={(s,s°)-.

szzQ

s£>o]

и обращающихся в нуль при s=s°; т. -

множество

непрерывных

строго положительных функций ^(s),

определенных

в области S^>o.

Пусть

I? -

оператор дифференцирования по переменным 3d, S a

F, -

r > =

o.suzdsx(s,s°}

» f e ^ , x S x )

a

тождественный

оператор

Рассмотрим функцию трех

переменных

f(cp,d>),

(

с

/

> :

{«Р, <1» = <Р*+Ч>г-Ф-

( 2 9

)

Тогда

| g t a d s arts, s°)f - q(s) = 0

(31)

при условии

X ( S ' S ° ; | s = s - = a

( 3 2 )

распространяющихся от точечного источника, сосредоточенного

в

точке S". При этом функция

0~***($) имеет физический смысл

ско­

рости распространения волны, а функция

x t e , s ° ) -

времени пробега

волны от точки s° до точки

S. Пусть оператор В - проекционный

оператор, ставящий в соответствие каждой функции

ocfe.s") ее

значе­

ния на границе области

Вое = x(s,s°),

S=(Si,o),

s o = ( S ° , 0 ) .

(33)

отыскании функции tys)

в области 5 г > о

по временам пробега волн

между любой парой точек границы области.

Выпишем уравнение

(27) по отношению к сформулированной задаче.

В данном случае функции Р, S имеют вид

PjvWW)

=Щ?+ %%

Рг«рШФл)=^Х),

+ 2 ( Й ; x A s " > +

fj^Js,S-))•'|^x(s,s") s

= 2 < yxuzs

[xjs,s°) + x2(s, s°)l,

ywLdsx(s,s°)>.

Через c r ^ X j

здесь обозначены решения задачи

( I )

при 9=<?,, Ц^Цг

соответственно. Обращение оператора

эквивалентно решению

при каждом фиксированном

s" линейного уравнения в частных произ­

водных первого

порядка при дополнительном условии

(32) . Предполо­

жим,

что семейство интегральных кривых,

отвечавших

в полуплоскос­

ти

s2 >0 полю направлений, определяемому

векторной

функцией

g/iouis

[cct (s, s°) + x^ (s, s°)],

регулярно в том смысле, что каждой паре

точек

s, s° соответству­

L(s,S°). Тогда решение уравнения

при условии (32) дается формулой

. | _ 1 Г 4

= f

ш * > s ° ) d j 5

vi^s)-H^u-j^

2\qxcud4hc±«,s°)+*3(\1s°)l\

' ( 3 4 )