Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

%-U(x'p,x,y)\

= u i ( x ° x , y ) I

и, следовательно,

/(х° х)

= ц ( х ° х,о).

(24)

В то же время, подставляя ряд (23)

в уравнение (20) и собирая чле­

ны при нулевой и первой степенях р , получаем уравнения для

U0 и

Л с у

« . =

+ Ь(х-х?)-$(у),

(25)

А * , " * = а Ч

+ *ЙС,У, и .-

(26)

Из (21) получаем, что о .

и u t

должны удовлетворять

граничному

Ujx.°x,y)

= V„'.x-x"y).

vaQ,yi

(27)

Обозначим разность х-х*

через 5 . Тогда для функций

и

ЧЬ-;Л,у)=Щ(х°х°^,у)

(28)

уравнения (25) и (26) принимают вид

A t v

«5 = a * t j

+ 1ы+ъц)-щ\,1\)

(26 \

Граничные условия имеют соответственно вид

( ^ * * ч ) ^ - о .

(30)

Применим к уравнению ( 2 5 ' )

преобразование. Фурье по переменной

^ .

а

к уравнению (26) сначала

преобразование Фурье по переменной

х°

а

затем по переменной f

:

Тоща для образов Фурье

функций иа1 л/л получим уравнения

| ^

= (a*+ 1ц1г)Ц

+ Ъа,у)-%Ц1-Х,у\

(32)

Здесь

ь(Я,у)

- образ

Фурье по переменной

х функции

1(х,у).

'

Граничные условия для образов Фурье аналогичны условиям

(29),(30) .

Решение задач,

отвечающих уравнениям ( 3 1 ) ,

(32), легко строится

о

помощью функции Грина ( 1 4 ) , в которой

Л =Ha*-H/u.l*'.

В част­

ности,

В этом уравнении

vt(A,(j.,o)

- известная функция

«х>

ста

Ч W - ^ ^ p

{ e ^ ' d *

J е 4 * * ? F t r ,

Ых°.

(34)

J e*v%a,ifidn

= { Ш ^ { а

^ Щ ^

v^l^o),

(35)

о

где

вещественная переменная

s

связана

с JUL (при фиксированном

А )

формулой

s = ^ а * + | ^ | г -

- И а ^ у Ь / х р .

(36)

Левая часть равенства

(35)

зависит

только

от

А

и

s

,

следова­

тельно, правая часть

также должна зависеть

только

от

Я

и s

:

V а*+|/х|* - V а г + 1 Я - ^ Р • тг, (Я, ц,

о)

= < P ( A , s ) .

'Последнее условие показывает, что

v±a,(j.,o)

может быть на

са­

мом деле представлена в виде функции (П.+1)

аргумента,

поэтому

достаточно ее было бы задать, например, как функцию

Я

и

Li =(fLato,...t

о)

где

fit-

первая координата преобразования

Фурье по переменной

$ =

х-ос!

Преобразование

Лапласа

функции

ЫЪ-М)

известно при вещест­

венных значениях

Р1звестно из теории преобразования Лапласа,

что достаточно

его

знать на луче

s > s „

, чтобы найти оригинал. Это можно осуществить,

например, с помощью формулы [170] :

•'

п-'—о

i

n !

э з п

J <-=-£i.

т

Я '

Таким образом, есЛ,?) находится однозначно

по заданной информации.

Отсюда и следует

сформулированная выше теорема.

Г л а в а

4 .

АБСТРАКТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ВОПРОСЫ ЕЕ КОРРЕКШОСТИ

Мы рассмотрели выше ряд постановок

обратных задач для диффе­

щую схему. Имеется семейство операторов [Л^},

действующих

из

про­

странства

X

в пространство

Y .

Это семейство

операторов

зависит

как. от параметра

от элемента

q ,

принадлежацего

некоторому

про­

странству Q . Наряду с этим имеется оператор

В, дейсгвупций

из

пространства

X

в пространство

% . В дальнейшем предполагается,

что

X,Y,H,

Q

— линейные нормированные пространства. Задача

решения уравнения

при заданных

yeY,

q,e Q

называется прямой задачей для семейства

операторов

{Aq,}.

Обратная к ней задача заключается в отыскании

конкретного

оператора

А^, принадлежащего семейству

операторов

{ j y

(или,

что то же самое,

параметра

если

относительно

его известно, что

решению уравнения (I) - при фиксированном у опе­

ратор

В

ставит

в соответствие

элемент z e %

,

то есть: если х - '

решение уравнения ( I ) ,

то

Ва: = г.

(2)

Во многих практически важных случаях оператор

В

не имеет

обратного, а семейство операторов

fA^J

обладает

хорошими

свойст­

вами, а именно, для каждого оператора

А^ , q.eQ,

существует об ­

ратный ограниченный оператор

А^.

В связи с этим решение

прямой

задачи (1) легко находится,и обратная задача ( I ) ,

(2)

редуцирует­

ся к решению операторного уравнения

Щ

= Щ'у

= z

(3)

дачи ( I ) , (2)

затрудняется тем обстоятельством, что уравнение

(3)

является, вообще говоря, нелинейным даже в том случае, когда

опе­

раторы

А^Ь

линейны. Мы предлагаем ниже два достаточно общих

метода

исследования обратной задачи ( I ) , ( 2 ) , с помощью которых

гораздо

проще.

I .

Случай, линейных операторов

Ад, В . Начнем с

простейшего

случая,

когда

операторы А^,В

линейны и семейство

операторов

{А^}

допускает

специальное

представление. Пусть т

некоторое

множество пространства

Q .

Т е о р е м а

I .

Пусть

В

-

линейный оператор, операторы

Ац,

для

<£ет,

имеют обратные

А^

и семейство операторов

{Ajs

представимо в виде

АЧ=А+А1,

(4)

где

А

-

линейный оператор,

а

А^-

билинейный оператор, то

есть

линейный

относительно

х е Х

и

qeQ

. Тогда для единственности

обратной

задачи ( I ) ,

(2) на множестве

mcQ

при фиксированных

yeY,%eZ

достаточно, чтобы двупараметрическое семейство ли­

нейных операторных уравнении

Т а д ^ - О

(5)

где

qt

(jt

- произвольные элементы шожества m , а

не имело нетривиальных

решений

вида

q=^i-qr%.

Пусть

семейство

уравнений (5) ни при каких

о ^ ^ а , о^е-т", Ц^т,

не имеет

решений вида

Ц.-%-<1г-

Покажем, что

обратная

задача

( I ) ,

(Э)

имеет в этом случае на

множестве т единственное

решение.

что задача ( I ) , (2)

имеет по

крайней мере два решения <^ет7г, Ц.ь£т

Обозначим соответствующие

элементам

qirqz

решения уравнения ( I )

(при

%=Цг.)

через oc^QCj.

Предположение, что

обратная

зада­

ча имеет в качестве

решения элементы

q i t

цг

означает

В а : 4 = 2 ,

(8)

Введем в рассмотрение элементы

сс=эс^-осг >

ц=с^-^.

Из равенств

( 7 ) ,

(8) находим

А^х^-А^Х^О,

Вх=0.

(9)

Первое из соотношений, в силу

равенства

( 4 ) , может быть

преобра­

зовано к виду

Л^х

+ А%х^=о.

(10)

Так как из равенства

(7)

при

i=Z

следует

з ^ Л ^ у ,

то,

обра­

щая оператор

А^

, находим

Подставляя выражение для

х

во

второе

из

соотношений

( 9 ) ,

полу­

чаем

Но в силу условия теоремы последнее уравнение не имеет решений

вида

ij = qi-qz

,

если qt+qz,

поэтому

равенство ( I I )

не может

иметь

места,

если

д±Фцг.

В связи с

этим обратная

задача

(1 ) , ( 2 )

не может иметь двух различных решений.

Следствие, (достаточный признак

единственности

решения

обрат-