Файл: Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ.pdf

альных решений у семейства однородных уравнений (5) вида

<J=<?1-^

где у{,длет,

является

также в некотором смысле и необходимым

для

единственности

обратной

задачи ( I ) ,

(2) на множестве

т .

Т е о р е м а

2 . Пусть

оператор

В

и семейство операторов

удовлетворяют условиям теоремы I , тогда для единственности

решения обратной задачи ( I ) ,

(2) на множестве

т

при фиксирован

ном yeY

и любом фиксированном

%еИщ

необходимо,, чтобы

семей

ство

уравнений

(5) не имело нетривиальных

решений

вида

^, = ^А -с^,

где

qi,qzem.

Пусть

решение обратной задачи ( I ) , (2)

единственно на множе­

стве

т

при любом

z e f / m .

Требуется показать,

что ни одно

из

уравнений

(5) не может иметь

отличных

от нуля решений вида

Я=Ч*~Ч*>

г л е

4<>(lzefn

Действительно, если предположить, что

хотя

бы одно из уравнений

(5)

имеет отличное от нуля решение

<2 = <^-<22,

то, находя соответствующие

элементам

9 ^ > 9 г е т

элементы

сс^зс^,

из равенства

( I I ) при

<£=9гЧа. получаем

Вое., = Ва:2 .

Обозначая

элемент

пространства %, являющийся

образом элементов

xilocz

через

2 ,

убеждаемся,

что обратная

задача

( I ) , (2)

имеет

в

этом

случае

на множестве гл., по крайней

мере, два решения

q.=<j

и

q=qz.

Так как это противоречит

условию,

то справедливость

тео­

ремы

установлена.

Исследование устойчивости семейства неоднородных операторных

уравнений,

отвечающих операторам

T q ^ , позволяет сделать опре­

деленные выводы

также и об устойчивости

обратной задачи ( I ) , ( 2 ) .

Т е о р е м а

3 . Пусть

оператор

Ъ

и семейство операторов

удовлетворяют условиям теоремы ( I ) . Пусть, кроме того, обрат­

ная задача

( I ) , (2) при фиксированном

уеЧ

и любом zelhn

имеет

единственное решение на Множестве т с < 3

и семейство линейных

операторов

T ^ l 4 l (4„<1г£т)

обладает

тем свойством,

что реше­

ние операторных

уравнений

равномерно

устойчиво (по отношению к различным

^.q^e-m)

к ма­

лым возмущениям

правой части. Тогда решение обратной задачи ( I ) ,

(2) устойчиво

к малым вариациям элемента

% , при условии,

что

они решение задачи не выводят за пределы множества

т .

Обозначим через

IR. -

множество, принадлежащее пространству 2,

которое является

образом

множества

т

при отображении о

по­

мощью оператора

U

(см. формулу ( 3 ) ) . Возьмем любые два элемента

? t j г г е R

Тогда

им однозначно

соответствуют

элементы

° . 1 £ т ,

qzetn.

Обозначая через

x = z J - 2 z

,

Ц=цл-цг;

с

помощью выкладок,

аналогичных проделанным

выше, находим

Т , , о Л = - 2 .

(13)

Выберем теперь произвольное е>о

. Тогда

из равномерной устойчи­

вости решения уравнения (13) следует, что можно найти такое

сУ>о,

независящее

от

qi7qx,

что при

l|2l!<§

llojUe.

Но это и означает

устойчивость обратной задачи ( I ) ,

(2) по

отношению к таким малым

изменениям

z ,

которые

решение

обратной

задачи не

выводят за

пре­

делы множества

т . Множество

т

является,

таким образом,

мно­

жеством

условной

корректности

обратной задачи ( I ) ,

( 2 ) .

2 .

Примеры постановок

обратных

задач. Приведем некоторые

при­

Ю = {(s,l):

l s | < ~ ,

O^i<°oj,

удовлетворяющих

при i = o

усло­

виям

oc(s,o) = 0,

\ a y s , О) = О;

(14)

7 -

пространство функций

непрерывных

в области

Q -

пространство функций q_(s), непрерывных в

области

50,,= { s ;

/s/<°°},-

Z-

пространство

функций

z(s,,..., sn_t<i),

дважды непрерывно диф­

ференцируемых по

своим аргументам

в области'

£ ) / = { ( s , ^

s n

= ° } -

Определим оператор

равенством

Лях=

хи-А;Х

+q,(s)x,

(15)

в котором символ

Л 5

- оператор Лапласа

по переменным

s 4 i ... ,s

а оператор

В равенством

Вх = о с ( 5 , А , . . . 7 5 п . , , 0 , < ! )

(16)

и рассмотрим для

них задачу ( I ) ,

( 2 ) .

При n = i

и при дополнительном

условии

g(-s) = q(s)

эта зада-

подробно

изученной

в работах

Б.А.Марченко,И.М.Гельфанда,

Б.М.Ле­

витана,

М.Г.Крейна

и других

авторов. При п. = 2;3 эта задача

в

спектральной

постановке

впервые была рассмотрена Ю.М.Березанс-

ким [ I 7 J , позднее

она изучалась

также в работах [ 8 3 ,

127 ,

128).

Обозначим через

G^ls^'i-i")

функцию 1рина.отвечающую

уравнению ( I ) . Тогда

уравнение

(5) может быть

записано

в виде

3 = < 5 , А , . . . , & л - 1 , 0 ) ,

о * * < • < > .

Учтем здесь, что функция Грина

Q-^tS, S°

отлична

от нуля

только

в области

5=/S-S°l.

Тогда

уравнение

(170 принимает вид

ls-s1*4

s=fs,, ... ,s n . i f o),

o 4 < « ,

где весовая функция

jo(s,s°4)

вычисляется при фиксированных

qt,q2,4

по формуле

4-/5-5"/

i-li-sl

jO(s,s°,i)=

j

d

i

' \

сЦ

J t ? , 1 ^ s ^ - « - C ^ f s ^ , r - ^ -

(19)

Мы приходим,

следовательно,

к необходимости исследовать такую за­

дачу интегральной

геометрии: известно, что для всех сфер произ­

вольного

радиуса

o^-i«»<: >,

центры которых принадлежат

плоскости

S^=o,

интеграла

от функции

<j, в произведении с известной весо­

вой функцией _р

равны нулю;

следует ли отсюда, что ц.—о ? Если

ответ на этот

вопрос положительный при любых

9а е*я, то из

теоремы I следует

единственность решения на множестве т

обратной

задачи ( I ) , ( 2 ) ,

лнтересно отметить, что в частном случае, когда функция

yis,i)=S'(s-si,i),

где

S~(s-s\±) — дельта-функция Дирака

(обобщенная функция), сосредоточенная в точке

(s*o),

s J =(s* ,

s i - - > s n

в е с

о п а

я

Функция

J}

принимает особенно простой вид

i4s-s°/

|s°-s'l

и так как j)=o

при

I s-s1 /,

то уравнение

(18) приводит к в

J

(Ц-г)-уИ,ъ'А)

<ь°=о,

( i s * )

Возникающая здесь задача определения функции через интегралы по

эллипсоидам вращения, у которых один фокус неподвижен (в

точке

s 1 ) ,

а второй пробегает множество точек плоскости

sa «=o,

рассмот­

рена

в работе

[ 1 2 3 ] .

геометрии. Эта связь была подчеркнута ранее в работе

[131] . В

случае, когда у(5)

есть функция одного переменного,

уравнение

(18) представляет

собой обычное одномерное уравнение

Вольтерра

чем проблем интегральной

геометрии. С помощью приема, описанного

выше, в работах

[130,

133) установлена теорема

единственности

одномерной обратной задачи для волнового уравнения,

заключающейся

в определении коэффициента, стоящего перед оператором Лапласа.

Возникающие при исследовании обратной задачи уравнения

( 1 8 ) ,

(18')

при n>i являются

также операторными уравнениями Вольтер­

ра,

в смысле

терминологии,введенной в работе М.М.Лаврентьева [Si]

(см.

также [80J ) . Некоторые

результаты по исследованию оператор­

ных уравнений

Вольтерра

содержатся в работах

[34 , 35] .

Пример 2 . Пусть X -

пространство фуннций

ores),

s=(s„ .... sj,

дважды непрерывно дифференцируемых в конечной

области Ф с

гладкой

границей Г ,

обращающихся на

Г*

в нуль

3rfS)]r =0;

(20)

Y -

пространство

функций

у (5),

непрерывных в

<£); *3> - простран­

ство функций

q(s)

с носителем в

я непрерывных в

<£>„-,

X - пространство функций z(s),

определенных и непрерывных в об­

ласти

<t\c<07

причем

©

t л

=

Пусть далее

А^:

Л^а:

=

Ь с - ^ ф х ,

(21)