Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.06.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

кости Я: фронтальная проекция

с'Ь'

приведена

в

положение

с'Ь\,

перпендикулярное

оси X, а

горизонтальная

получилась

в

точке

cbi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВС

 

Чтобы не нарушить взаимного расположения

отрезка

и

точки

А, последняя повернута

(см. п.

«а»)

вокруг

той

же

оси

I I

1,

в ту же сторону и на тот же

угол

(отмечено

стрел­

ками)

до положения ща/.

Отрезки ü\kx

и a\k\

есть

проекции

искомого

расстояния, причем a\kx = AK

и

есть его

истинная

величина. Проекции этого расстояния в исходном

положении

ВС

и А

получены обратным построением, процесс которого

указан на рис. 123 стрелками от k\

на

k'

и на

k.

 

 

 

 

 

 

Рис. 122

 

Рис.

123

 

 

 

 

 

Если

бы отрезок ВС

находился

в общем

положении

(см.

рис. 123), то сначала нужно было

бы повернуть

его

вокруг

оси, перпендикулярной

плоскости

проекций

V,

до

положения

фронтали

(см. пример

1 данного

параграфа),

помня,

что

на

тот же угол следовало бы повернуть в

ту

же

сторону

и

точку А,

а

затем продолжить решение задачи

только

что

рассмотренным путем. Как видим, в этом случае требуется

двойной

поворот

вокруг двух

различных осей.

 

 

 

 

 

в) Вращение

плоскости

 

 

На

рис. 124 изображены следами Рн и Рѵ

плоскость Р

и

ось I I

х

(iii, i'h'),

перпендикулярная плоскости

проекций

Я.

Каким образом повернуть плоскость Р вокруг оси Пу на не­ который угол?

Как известно, прямая и точка вне этой прямой опреде­ ляют плоскость. В данном случае ими могут быть горизон-

117

тальный след Ph и точка К (k, k') пересечения оси U\ с плос­ костью Р, найденная с помощью горизонтали.

Следовательно, для вращения плоскости Р достаточно вращать один лишь ее след Рк\ точка К, не лежащая на нем и в совокупности с ним определяющая плоскость Р, не изме­ нит своего положения в пространстве, так как принадлежит оси Iii вращения.

След Ph, как прямая линия, на рис. 124 повернут на неко­ торый угол с помощью точки С, радиус вращения которой перпендикулярен самой прямой Ph (см. п. «б», рис. 121,6). Для этого из точки О (о, о') опущен в точку С (с, с') пер-

X

Рис. 124

пендикуляр к следу Ph и вместе с ним, как жесткая система, повернут на нужный угол а. След Phi в новом положении остается расположенным под прямым углом к этому перпен­ дикуляру и в пересечении с осью X даст новую точку схода следов Рх\.

Второй точкой, через которую после поворота пройдет новый фронтальный след РѵХ плоскости Р, будет новый фрон­ тальный след горизонтали Vi (ии их'). Для построения его проведем горизонтальную проекцию горизонтали, которая и

после

поворота

осталась

параллельной

горизонтальному

следу

Phi

плоскости

и проходящей через

горизонтальную

проекцию

k

точки

К.

Отметим в пересечении

с

осью X

гори­

зонтальную

проекцию

Оі, а

в

проекционной связи — фрон­

тальную Ѵ\

проекцию

точки Vi, затем через Рх\

и ѵ/

прове­

дем след Рѵі

плоскости Р.

 

следы Рм и Рѵ\

плоскости Р

Таким

образом, мы получили

после поворота ее на некоторый угол а.

 

 

 

Процесс

вращения

плоскости,

заданной

следами,

значи-

118

тельно упрощается, если ось-вращения не задана, а, следова­ тельно, можно ее выбрать перпендикулярной одной плос­ кости и лежащей в другой плоскости проекций. Рассмотрим это на конкретных примерах.

П р и м е р 3. Для плоскости Р [Ph, Рѵ), изображенной на рис. 125, требуется определить угол наклона ее к плоскости проекций Я.

Известно, что если плоскость находится в положении фронтально-проецирующей, то искомый угол определится

между

ее

фронтальным следом

и

осью X. Горизонтальный

след такой плоскости перпендикулярен оси X.

 

Для преобразования плоскости общего положения Р в по­

ложение фронтально-проецирующей

проводим ось вращения

Iii ("ь i'h

) перпендикулярно плоскости Я и лежащей

в плос­

кости V. Неподвижная точка К

(К

k')

пересечения Яі

с плос­

костью Р определилась без построений в пересечении

со

следом

Рѵ.

 

 

 

 

 

След Ph до положения Phi, перпендикулярного оси X, по­

вернут так же, как на рис. 124.

Через

получившуюся

точку

схода

Рхі

и точку k'

проводим

след РѵХ.

 

Угол а

между РѵХ

и осью X

является искомым.

 

Ci

 

Рис. 125

 

 

Рис. 126

 

П р и м е р 4. На рис. 126

изображены

своими

следами Рн

и Рѵ плоскость Р и проекциями точка

А

(а, а').

Необходимо

определить расстояние между

ними.

 

 

А на

 

Чтобы

перпендикуляр, опущенный

из

точки

плос­

кость Р,

отрезком которого

измеряется

расстояние

между

ними, спроецировался на плоскость проекций без искажения, следует провести его параллельно этой плоскости проекций. Такое положение получим, если плоскость Р сделаем, напри­ мер, фронтально-проецирующей.

На рис. 126 вращение плоскости Р до фронтально-проеци­ рующего положения выполнено по аналогии с рис. 125.

119

Чтобы не изменилось расположение точки А по отноше­

нию к

плоскости

 

Р, она повернута в

том

же направлении

и

на тот

же угол

(отмечены

стрелками)

до

положения

а\ах'.

 

Отрезки

Ö I ^

I

и

axt\

являются проекциями искомого рас- -

стояния, а отрезок ai'tl/=AT

— его величинрй.

Построение

проекций at

и а'?

на

рис.

126 показано

стрелками

от

/ /

к V и

t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вращение

плоскости,

заданной не следами,

сводится

к

вращению геометрических элементов, ее определяющих. Обра­ тимся к конкретному примеру.

П р и м е р 5.

Вращением

вокруг

надлежащим

образом

выбранных осей

определить

величину

треугольника

ABC

 

 

(abc,

а'Ь'с'),

заданного

на

 

ос,

рис.

127.

 

 

 

 

 

 

о; _\-

 

Чтобы

 

преобразовать

 

 

треугольник

в

положение,

 

 

параллельное

плоскости

 

 

проекций,

на

которую

он

 

 

спроецируется

без

иска­

 

 

жения, нужны

два

после­

 

 

довательных

 

его

 

пово­

 

 

рота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый

поворот

про­

 

 

изведем

вокруг

оси

П\

 

 

 

 

 

проведенной

че­

 

 

рез вершину

треугольни­

 

 

ка

С

и

перпендикулярно

 

 

плоскости

проекций

Н,

до

 

 

положения,

 

когда

тре­

 

 

угольник

стал фронталь­

 

 

но-проецирующим.

Для

 

 

этой

цели

в

плоскости

 

 

ABC

проведем

горизон­

 

 

таль

CD

(cd,

c'd')

и вме­

сте с треугольником повернем до положения, перпендикуляр­

ного плоскости V. Так как в плоскости ABC

оказалась

пря­

мая CD, перпендикулярная плоскости V, то

сама

плоскость

ABC

стала

перпендикулярна плоскости

V. Построения выпол­

нены

следующим образом.

 

 

 

 

 

 

 

 

Горизонтальную проекцию горизонтали cd повернем в по­

ложение cdu

перпендикулярное

оси

X.

Положение

точек

йі

и Ьі определим

с помощью дуг окружностей

радиусов са

и cb

и засечек

на

них из

точки

а{

радиусами

d\a\ =

da

и

d]bi = db.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фронтальные

проекции

а/, с', Ь / найдем

в

проекционной

связи на прямых, параллельных

оси

X.

 

 

 

 

 

 

120

Смотрите также файлы