ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.06.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 1
Точки |
а/, |
с', |
Ь\ |
оказались |
после |
поворота |
расположен |
|||||||
ными на одной прямой, так как плоскость ABC |
стала перпен |
|||||||||||||
дикулярна |
плоскости проекций |
ІЛ- |
|
|
|
|
|
|
||||||
Затем выполним второй поворот вокруг оси I2h |
(kh, |
h'h'), |
||||||||||||
проведенной через |
точку |
Вх |
(bu 6/) |
и |
перпендикулярной |
|||||||||
плоскости V, до положения треугольника ABC, |
параллельного |
|||||||||||||
плоскости |
проекций |
Я. Для |
этого |
фронтальную |
проекцию |
|||||||||
а\'с'Ь\ |
повернем |
до |
положения |
а2'с2Ь1', |
|
параллельного |
оси |
|||||||
X, а в проекционной связи на прямых, параллельных оси X, |
||||||||||||||
найдем |
горизонтальные |
проекции |
а2 |
и |
с2 вершин А |
и С. |
||||||||
Точка Bi |
(bi, |
bi) |
своего |
положения не |
меняла, так |
как через |
||||||||
нее проведена |
ось вращения |
hh- |
|
|
а2сфх |
|
|
|
||||||
Полученная горизонтальная |
проекция |
треугольника |
||||||||||||
является его величиной, так как в повернутом положении тре угольник стал параллелен плоскости проекций Я.
§ 28. Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций
а) Вращение точки
На рис. 128, а в системе взаимно перпендикулярных пло скостей H я V изображены прямая BD, параллельная пло скости Я, и точка А. Приняв прямую BD — горизонталь за ось вращения, повернем вокруг нее точку А на некоторый угол.
Рис.
Согласно основным положениям способа вращения (см. § 26, рис. 118) точка А будет перемещаться по дуге окруж ности в плоскости RA, перпендикулярной к оси вращения BD. Так как последняя есть горизонталь, то RA будет плоскостью- горизонтально-проецирующей. В пересечении BD и RA опре-
121
делится |
центр |
вращения — точка |
О, |
а |
отрезок |
OA |
будет |
||||||||||||
радиусом |
вращения точки |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Дуга окружности, по которой перемещается точка А, |
будет |
|||||||||||||||||
проецироваться |
на |
плоскость |
проекций |
Я |
в прямую |
линию, |
|||||||||||||
совпадающую со следом RAk, |
а |
|
на |
плоскость |
V — в |
виде |
|||||||||||||
эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 128, а точка А повернута на угол, |
при |
котором |
||||||||||||||||
радиус ее вращения АО в новом положении АхО |
стал |
парал |
|||||||||||||||||
лелен плоскости Я и на нее спроецировался |
без |
искажения: |
|||||||||||||||||
що |
есть величина |
АхО=АО |
и совпадает |
со |
следом RAh- |
на |
|||||||||||||
|
На рис. |
128,6 |
аналогичные |
построения |
|
выполнены |
|||||||||||||
эпюре: RAh |
проведен |
через а |
и |
перпендикулярно |
bd; |
|
RAv |
— |
|||||||||||
через точку |
схода |
Rx |
перпендикулярно |
оси |
X; |
в |
пересечении |
||||||||||||
•bd с RAh |
найдена |
горизонтальная |
о, а |
в |
проекционной |
связи |
|||||||||||||
на |
b'df — фронтальная проекция о' |
центра вращения; |
отрезки |
||||||||||||||||
оа |
и о'а' |
есть |
проекции |
радиуса |
вращения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для получения повернутого положения а\ точки А |
найдем |
|||||||||||||||||
величину радиуса вращения Л 0 О |
|
способом |
|
прямоугольного |
|||||||||||||||
треугольника и отложим от точки О по следу RAh |
плоскости |
||||||||||||||||||
вращения. Проекции |
ахо |
и |
а\'о' |
соответствуют тому |
положе |
||||||||||||||
нию точки А, когда радиус |
ее |
|
вращения |
стал |
параллелен |
||||||||||||||
плоскости |
проекций |
Я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обобщая |
приведенные |
рассуждения, |
можно |
сделать |
вы |
|||||||||||||
вод о том, что при вращении точки вокруг горизонтали гори
зонтальная |
проекция этой точки |
перемещается |
по |
прямой, |
||||
перпендикулярной |
горизонтальной |
проекции горизонтали. |
||||||
Если бы вращение точки производилось вокруг фронтали, |
||||||||
то точка перемещалась бы в плоскости |
фронтально-проеци |
|||||||
рующей, перпендикулярной фронтали, а ее фронтальная |
проек |
|||||||
ция перемещалась бы по прямой, |
перпендикулярной |
фрон |
||||||
тальной проекции фронтали, т. е. по фронтальному |
следу |
|||||||
плоскости вращения. |
|
|
|
|
|
|
||
|
б) Вращение |
отрезка |
прямой |
линии |
|
|
|
|
На рис. 128, а |
такой |
отрезок получен |
соединением |
|
точек Л |
|||
и В, а на рис. 128,6 показаны его проекции ab и a'd'. |
Для по |
|||||||
ворота отрезка AB |
до положения, когда он станет параллелен |
|||||||
плоскости H и на нее спроецируется без искажения, вращаем |
||||||||
точку А, как это было рассмотрено в п. «а». Точка В |
своего |
|||||||
положения не меняет, так как она |
принадлежит |
оси |
|
враще |
||||
ния — горизонтали |
BD. |
|
|
|
|
|
|
|
В новом |
положении |
отрезок стал параллелен |
плоскости Я, |
|||||
а его проекция на этой плоскости стала равна величине от
резка |
axb=ÀB. |
угол |
Две пересекающиеся прямые AB и BD образуют |
||
A BD, |
одной стороной которого является горизонталь, а |
дру- |
422 |
|
|
гая повернута до такого же положения. Следовательно, про екция этого угла афа на плоскости проекций Я равна вели чине угла ABD.
|
в) |
Вращение плоскости |
|
|
П р и м е р 6. |
Определим |
величину плоской |
фигуры — тре |
|
угольника ABC |
(abc, |
a'b'c'), |
представленного |
на рис. 129. |
Чтобы треугольник спроецировался без искажения, нужно вращать его до положения, параллельного какой-либо плос кости проекций, например Я, причем вокруг оси, параллель
ной |
той же |
плоскости |
проекций. Такой |
осью может |
служить |
||||||||||||
горизонталь |
BD |
(bd, |
b'd') |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
плоскости |
треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Прежде |
|
чем |
перейти |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
к выполнению |
вращения, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
обратим внимание на пол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ную |
аналогию |
тех |
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
строений, |
которые |
могут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
быть проведены |
с |
прямы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ми |
AB |
и |
СВ — сторона |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ми |
треугольника |
ABC |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прямой |
AB, |
рассмотрен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ной в п. «б» |
(см. рис. |
128). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поэтому |
в |
данном |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мере объясним |
только |
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
построения, |
которые |
|
вы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
полнены |
на |
рис. 129 |
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получения |
требуемого |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ложения |
|
|
треугольника, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Через точки с и а прове |
|
bd, — горизонтальные |
|
|
|||||||||||||
дем |
прямые, |
перпендикулярные к |
сле |
||||||||||||||
ды |
плоскостей |
вращения |
точек |
С |
и |
Л. |
Отметим |
точку |
О |
||||||||
(о, |
о') — центр |
вращения точки А. |
По |
проекциям ао, а'о' |
ра |
||||||||||||
диуса вращения |
точки А построим его величину А0О, |
а затем |
|||||||||||||||
отложим |
на |
прямой |
оа. |
Так получим |
повернутое положение |
||||||||||||
Gl точки |
А. |
|
|
|
|
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
сторона |
треугольника |
в |
процессе |
вращения |
||||||||||||
остается |
прямой, то |
из полученной точки ах через неподвиж |
|||||||||||||||
ную точку d |
(точка D лежит на оси вращения BD) |
проведем |
|||||||||||||||
прямую |
axd |
до |
пересечения в точке сх |
с |
перпендикуляром, |
||||||||||||
проведенным |
ранее через точку с к |
bd. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Соединив повернутые положения ах |
и сх вершин треуголь |
||||||||||||||||
ника ABC |
с неподвижной |
точкой |
b |
(она принадлежит |
оси |
||||||||||||
вращения BD), |
получим |
горизонтальную |
проекцию |
афсх |
тре |
||||||||||||
угольника ABC |
в положении, параллельном плоскости Я . Сви |
||||||||||||||||
детельством |
этого |
является |
его фронтальная проекция |
axb'c{, |
|||||||||||||
123
которая стала прямой линией, параллельной оси X. Следова
тельно, |
axbc\—ABC |
и есть его искомая величина. |
|
|
Так |
как любые две стороны треугольника есть пересекаю |
|||
щиеся |
прямые, то |
определение величины |
угла между |
ними |
ничем |
не отличается от рассмотренной задачи. |
|
||
В том случае, когда плоскость задана |
следами (на |
при |
||
мере треугольника мы рассмотрели вращение плоскости, за данной не следами), вращать ее оказывается значительно удобнее вокруг оси, которая не только параллельна плоскости проекций, а лежит в ней.
§ 29. Вращение вокруг оси, лежащей в плоскости проекций (совмещение)
В качестве такой оси берут какой-либо след плоскости. Вращая плоскость вокруг одного из ее следов, можно совме стить эту плоскость с плоскостью проекций. Тогда все, что находится в плоскости, на этой плоскости проекций оказыза-
Рис. 130
ется представленным без искажения. Поэтому такое враще
ние плоскости |
называют совмещением. |
|
|||
На |
рис. 130, а |
представлена |
плоскость Р |
в наглядном из |
|
ображении, а |
на |
рис. 130,6 |
она задана |
своими следами |
|
Ph и |
Рѵ. |
|
|
|
|
Рассмотрим, каким образом плоскость Р, вращая вокруг следа Ph, можно совместить с плоскостью проекций Я.
Оказывается, для этого достаточно совместить с плос костью Я какую-либо одну точку плоскости Р, которая в со вокупности со следом Ph (он является осью вращения и своего положения не меняет) определит эту плоскость в ее совмещенном положении.
124
ку |
На |
рис. |
130, а в плоскости |
Р на ее следе Рѵ |
возьмем |
точ |
|
V |
(ѵ, ѵ') |
и по аналогии |
с |
правилами, рассмотренными в |
|||
§ |
28, |
рис. 128, повернем до |
положения, когда |
радиус ее |
вра |
||
щения ОѴ займет горизонтальное положение ОѴ0, совместив шись тем самым с плоскостью проекций Я. Это действительно
так, |
ибо точка О — центр |
вращения точки |
V |
найдена |
в |
пере |
|||||||||||||
сечении |
оси вращения |
Pjt |
с плоскостью |
вращения |
R |
и |
нахо |
||||||||||||
дится в плоскости проекций Я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Через неподвижную |
точку |
схода Рх и через точку |
Ѵ0 |
|
про |
||||||||||||||
ведем |
в |
совмещенном |
положении с плоскостью Я след |
Рѵ0 |
|||||||||||||||
плоскости |
Р. |
Геометрические |
построения, |
необходимые |
для |
||||||||||||||
получения |
следа |
|
Рѵ0 |
на |
|
эпюре, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
показаны |
на |
рис. |
130,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Возьмем |
точку |
V |
(ѵ, |
|
ѵ') |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
следе Рѵ и через нее |
проведем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
плоскость R |
(Rh, |
Rv) — плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
вращения ее вокруг следа Ph- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отметим |
|
точку О |
|
(о, о') — центр |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вращения |
и |
ov, |
|
o'v'—проекции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
радиуса вращения точки V. Спо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
собом |
прямоугольного |
треуголь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ника |
|
построим отрезок |
ОѴ0 |
— ве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
личину |
радиуса |
вращения |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V, а затем отложим по следу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
плоскости |
вращения |
R. |
|
Через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точку |
У 0 |
на |
этом |
следе |
и |
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
схода |
Рх |
проведем |
след Рѵ0. |
|
|
|
Рис. 131 |
|
|
|
|||||||||
Обратив |
внимание |
на |
отрезки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рхѵ' |
и РХѴ0, |
видим, что они равны: Рхѵ' |
= |
РХУ0; следователь |
|||||||||||||||
но, можно сказать, что точки |
ѵ' и У0 лежат |
на |
одной |
|
дуге |
||||||||||||||
окружности радиуса Рхѵ' |
= РХѴ0 |
с центром в точке |
Рх. |
|
|
||||||||||||||
Этот вывод дает возможность упростить процесс построе |
|||||||||||||||||||
ния |
совмещенного положения |
плоскости |
Р |
и |
ее |
следа |
Рѵо с |
||||||||||||
плоскостью Я, так как отпадает необходимость строить прямо
угольный треугольник для определения |
величины |
радиуса |
|||
вращения ОѴ0. |
|
|
на |
рис. 131, |
|
Построения с учетом сказанного выполнены |
|||||
где через точку ѵ проведена прямая линия, |
перпендикулярная |
||||
Ph, и на ней для получения точки Ѵ0 |
сделана |
засечка |
дугой |
||
окружности радиуса Рхѵ' из центра Рх. |
Через точки |
Рх |
и Ѵ0 |
||
проведен след Рѵа. |
|
|
|
|
|
На рис. 130, а и 131 в плоскости Р проведена горизонталь через точку V (ѵ, ѵ'). Последняя для этой горизонтали явля ется фронтальным следом. Так как положение горизонтали по отношению к горизонтальному следу Ph в процессе вращения плоскости Р не изменялось, то в совмещенном положении она осталась по-прежнему параллельной Ph- По аналогии можем
125
