Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

отметить, что фронталь плоскости в совмещенном положении? остается параллельной фронтальному следу этой плоскости.

Сделанные выводы используются для построения совме­

Однако, ограничившись проведением через ее горизонтальнуюпроекцию а прямой, перпендикулярной к следу Ph, в пересе­ чении с совмещенным положением горизонтали получим со­ вмещенное положение А0 точки А.

Подобным образом можно было бы построить совмещен­ ное положение еще ряда точек. Рассмотрим это на примерах.

П р и м е р 7. Совмещением с плоскостью проекций Я опре­ делить величину треугольника ABC (abc, а'Ь'с'), лежащего в плоскости Р (Ph, Рѵ) • На рис. 132, а плоскость Р общего по­ ложения, на рис. 132,6 — частного положения.

Рис. 132

Построения выполнены в следующем порядке: построены

126

Ло-ßoCo, лежащей в заданной плоскости, требовалось найти ее проекции, то построения следовало бы выполнять в обратном порядке (см. § 30, п. «в»).

Сопоставление рис. 132,а и б показывает, насколько проще построения во втором случае по сравнению с первым. Однако построения и в первом случае (см. рис. 132, а) могут быть сведены к рис. 132,6, если воспользоваться способом перемены и преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (см. рис. 113).

В заключение заметим, что в результате совмещения плоскости Р (см. рис. 132) с плоскостью проекций Я на ней без искажения изобразились углы, образованные в простран­ стве следами Рн и Рѵ, как углы между двумя пересекаю­ щимися прямыми линиями.

§ 30. Примеры и указания к решению задач способом преобразования проекций

Остановимся на рассмотрении лишь тех задач, в которых приходится определять расстояния, углы и строить геометри­ ческие элементы по заданным условиям.

а) Определение расстояний

1. Расстояние между двумя точками — нахождение егосводится к определению длины отрезка прямой линии (см. рис. 112, 122).

2.Расстояние от точки до прямой линии (см. рис. 116,

123).

3.Расстояние между двумя параллельными прямыми ли­ ниями определяется аналогично предыдущей задаче: пере­ меной плоскостей проекций или вращением прямые преобра­ зуются в положение, когда они проецируются в точки, рас­ стояние между которыми будет искомым.

4.Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми: одна из прямых преобразуется в положение, когда она

б) Определение углов

1. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Приме­ ром его может служить угол, образованный двумя пересекаю­ щимися сторонами треугольника, величина которого, а следо-

127

вательно, и угол при любой из вершин находилась в приме­ рах, представленных на рис. 117, 127, 129 и 132.

2.Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых параллельна одной из скрещивающихся прямых. Поэтому сначала нужно построить такие прямые, а затем, как в пре­ дыдущем случае, найти величину угла между этими прямыми. Он будет искомым.

3.Угол между прямой и плоскостью есть угол, заключен­ ный между прямой и ее прямоугольной проекцией на эту плоскость. На рис. 133, а показано построение этого угла, для чего найдена точка К пересечения прямой AB с плоскостью Р.

Рис. 133

Затем из точки А опущен перпендикуляр на плоскость Р и в

стями, называется двугранным. Как известно, мерой его явля­

128

Рис. 134

того, что по фронтали пересекаются такие плоскости общего положения, у которых фронтальные следы параллельны.

величиной искомого линейного угла, являющегося мерой дву­ гранного угла, образованного плоскостями Р и Q.

в) Построение геометрических элементов по заданным условиям

Здесь можно было бы привести большой перечень подоб­ ного рода задач: построение проекций прямой по заданным ее длине или углам наклона ее к плоскостям проекций, по­ строение плоскостей по заданным углам наклона их к плоско­ стям проекций или друг к другу, построение плоских фигур