Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

б о л ь ше той энергии, которой частице

недостает до

высоты б а ­

рьера U . П р и

прохождении через потенциальный барьер кине­

тическая энергия частицы становится

положительной .

ХОЛОДНАЯ ЭМИССИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА

П р и л о ж и м

к м е т а л л у большое электрическое поле

(Ю5в/см)

так, чтобы он

я в л я л с я катодом, тогда

из м е т а л л а начнут выры ­

получило

название

холодной

эмиссии.

Электроны

внутри

ме­

т а л л а

имеют

меньшую

потенциальную

энергию,

и

д л я

их

вы­

U(x)

Т

Рис.

15

рывания

из

м е т а л л а нужно

совершить

работу.

Хотя

потенци­

а л ь н а я

энергия

электрона

внутри

м е т а л л а

меняется

периодиче­

ски,

в

первом

приближении

м о ж н о

считать,

что

она

внутри

м е т а л л а одинакова

и р а в н а

нулю,

а

иа

границе

м е т а л л - в а к у у м

резко

возрастает

до

некоторого

постоянного

значения

Uo

(рис.

15).

В

электрическом

поле,

направленном

нормально

к

его

по­

верхности,

потенциальная

энергия

электрона

будет

равна

еЕх,

где

Е — н а п р я ж е н н о с т ь

налагаемого

поля;

е — з а р я д

электро ­

на;

X — координата,

отсчитываемая

от

поверхности

проводни­

ка. Таким

образом,

в

области

х > 0

полная

потенциальная

энергия

U = Uo — еЕх

(рис.

15),

отчего

на

границе

металл -

вакуум

возник

треугольный потенциальный

барьер .

П о

классическим

представлениям из м е т а л л а

могут

выйти

л и ш ь

те

электроны,

полная энергия которых будет больше вы­

соты

барьера .

Н о

таких

электронов

в

металле

очень

мало, и

они

практически не

могут

создать

н а б л ю д а е м ы й

ток.

Однако,

о б л а д а я волновыми

свойствами,

они

могут

проникнуть через

барьер

д а ж е

в

том

случае, когда

их

энергия

н и ж е

м а к с и м а л ь ­

ной

высоты

барьера .

Вероятность

такого

проникновения

тем

больше,

чем

у ж е барьер,

т. е. чем

больше

н а п р я ж е н н о с т ь

при-

л о ж е н н о го поля Е. Вычислим коэффициент прозрачности

барь ­

ера. Д л я

этого

с н а ч а л а

найдем

интеграл,

стоящий в

п о к а з а т е л е

(91):

j

/ 2 т

[U ( х ) — Т ] dx = j

/ 2 т

( U 0 — е Е х -

Т) dx>

(J

f

г д е

X, = 0 , x 2

=

—

координата

точки

пересечения

пря-

Uo — еЕх

еЕ

мой

у =

и

прямой у =

Т,

Т — кинетическая энергия

электрона .

еЕ

Введем

новую переменную S =

х

,

тогда

и„-т

и 0

— т

еЕ

L

iL

(Uo - т ) 2

ѴШ

г п / т т г ^

&

=

-

( и ° - т > 2

^ 2

"

еЕ

J

3

еЕ

Используя

соотношение

(91),

запишем

в ы р а ж е н и е

дл я

к о э ф ­

фициента

прозрачности

: ( U „ - T )

D = D 0 e 3 h

у J

-е Е

.

(94)

трона Т,

но если

в

качестве

Т

взять

среднее значение

энергии

ѣ

электронов

внутри

м е т а л л а ,

то

D =

D 0 e E ,

где

Ео зависит

от

природы

м е т а л л а

и

его физического

состояния.

Ток

холодной

эмиссии

I

будет

пропорционален потоку проникших через ба­

рьер электронов,

который в

свою

очередь

пропорционален

D ,

поэтому

_JË?

І = 10е

е.

(95)

циллятором . Если растянуть п р у ж и н у и

освободить, ш а р и к нач­

нет колебаться согласно

закону:

х — A sin

(юі -\- <?),

где

X — отклонение от положения равновесия;

со =

2яѵ — циклическая

частота

колебаний .

П р и м а л ы х отклонениях

от

положения

равновесия

подобные

колебания

могут возникать

и

под действием сил

неупругой

природы, т а к

к а к л ю б а я

периодическая

сила, о б р а щ а ю щ а я с я в

положении

равновесия

в

нуль,

при м а л ы х амплитудах колеба ­

ния

является

квазиупругой .

Действительно, р а з л а г а я

силу во­

круг точки равновесия х0 ,

имеем

П е р в ы й

член

в этом

р а з л о ж е н и и

равен

нулю,

т а к

к а к

х =

х 0

соответствует

равновесию,

а

члены, пропорциональные

(х — х0 )

в степени

больше

единицы,

отбрасываем

в

силу

малости

(х —

через

к, получаем

F ( х )

=

= к (х — х 0 ) .

Это

и

есть закон

упругих сил.

В

настоящем

п а р а г р а ф е

мы

рассмотрим

микроосциллятор,

иначе

говоря,

микрочастицу,

колеблющуюся

около

положения

равновесия под действием упругой силы.

Решение

поставлен­

ной з а д а ч и

д а е т представление

о

поведении частиц в

кристалле

или атомов в молекуле, которые в первом приближении

м о ж н о

считать гармоническими осицилляторами . П о т е н ц и а л ь н а я

энер -

гия осциллятора U р а в н а

частота

собственных

колебаний

осциллятора,

a

m — его

масса .

П о д с т а в и м

U

в амплитудное

уравнение

Шрёдингера:

d 2

F

8n2 m (Е —

2тг2 ѵ 0 2 тх2: )

Ф =

0.

(96)

В в е д ем постоянные Х =

2Е

х 0 =

1/

(х 0

— имеет р а з м е р -

— ,

hv0

у 4те2 м0 т

ность

длины)

и новую

переменную £ = — ,

тогда

уравнение

(96)

приобретет компактный

вид:

d2W fi) +

( À - $ 2

) ¥ ( S ) = 0 .

(97)

Непрерывные,

однозначные

и конечные

решения

уравнения

(97)

в ы р а ж а ю т с я с помощью производных

Ё

^ п =

С п е 2 ^ ( е - Р ) ( п = 0,1,...)-

(98)

ас"

Ч т о б ы убедиться

в том,

что

функции

(98)

удовлетворяют

ющей производную п-го порядка от произведения

двух

функ­

ций U и v. Теорема

гласит:

D n (Uv) =

C n k D k

U D n - k v

(k == 0,

1 , . . ., n).

(99)

З д е с ь

D — краткий символ

производной по

любой

пере­

менной;

к и

n — порядки

производных,

причем

производная

нулевого

п о р я д к а (п

или к =

0) от

функ­

ц и и — это

с а м а

функция;

к! (п - к)!

П р о и л л ю с т р и р у е м теорему (99)

на двух

п р и м е р а х :

D 1 (Uv) - ( V U V +

С і Ш Ѵ =

U — +

V —

qï

d£

D 2

(Uv) =

C 2 °U°v 2

+

C^UH - 1

+

C 2 2 U V >

=

dS*

d? d£ —

dïa

V -

Именно

последнюю

ф о р м у л у

и

применим

к в ы р а ж е н и ю

(98).

~"

d n

П р и н я в

в нем

U =

е 2 ,

ѵ =

—

( е - 5 * ) ,

легко найдем

У

У

У

=

C n [ е 2

D n + 2 e - ^

+ 2 е 2 E D » - ^ - « " +

е 2

(1 + ¥)

Б Л Н ' ] .

(100)

З а т е м

член

D n + 2 e ~ $ a

распишем так, чтобы он сводился

к более

низким

производным .

Д л я

этого

возьмем первую

производную

от

е , -

5 '

и

тогда

D n

+ 2 e - ; 3 = D " - 1

(—

П о л о ж и в

U = I ,

а

V =

е,~^

опять

применим

теорему

Л е й б н и ц а

D"+i ( _

2£е-*3 ) = — г Ю ^ е - * ' -

2 (п +

1) Dn e-<* .

Б о л ь ш е

в

этом

ряду

членов нет,

ибо

производные

второго

по­

р я д к а

и

выше

I

равны нулю.

Полученное

в ы р а ж е н и е

дл я

D n + 2 e _

"

подставим в ф о р м у л у

(100) и найдем

¥Іл

=

( -

1 _

2п +

£2 ) Dn e~*\

Н а к о н е ц , п о д с т а в л я я

это в ы р а ж е н и е

в

равенство (97),

получаем

D n e - 5 !

( -

1 — 2n +

X -f- £2 — I2)

=

0.

(101)

Очевидно,

при Я =

2 п +

1 оно о б р а щ а е т с я

в

нуль,

что

ка к

ра з

и нужно . П а р а м е т р

X определяет

энергию

Е п

=

^

(2п +

1 ) =

hv0

(n +

I ) (n =

0,

1, 2 , . . . ) .

(102)

Это главный

результат

задачи . К а к

видно,

энергия

квантуется,

ибо число n (порядок производных)

может принимать только це­

л ы е значения . К а к и в предыдущих

з а д а ч а х ,

энергия

и

состояние

вым числом. Теперь обратимся к Ч'-функции

осциллятора . Ока ­

зывается, очень

удобно ее выразить

через полиномы

Ч е б ы ш е в а -

Э р м и т а :

Н п = ( — l ) n e E ' D n e - E !

(n =

0, 1,...).

(103)

Это полином п-го порядка,

в ы с ш а я

степень

которого

определя ­

ется n - кратным

дифференцированием

члена

е~іг,

что

д а е т

2 п І п е _ £ , е ^ =

2П £". З а т е м будут члены более низких порядков,

вплоть

до свободного. Сопоставляя

в ы р а ж е н и я

(98)

и

(103),

получаем

* . - « * ~ ' н .

( 1 0 4 >

Используя

ф о р м у л ы (98)

и (104),

м о ж н о

найти постоянную

нормировки

С п .

Условие нормировки

сводится

к у т в е р ж д е н и ю :

вероятность

пребывания

осциллятора

в пределах

изменения его

координаты

X от — оо до +

оо р а в н а

единице:

+ 00

W

=

J > n 2 d x

=

l .

(105)

—*оо