Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

В ф о р м у л е

(105)

удобно

перейти

к переменной

%,

поделив

и

у м н о ж и в в ы р а ж е н и е

(105)

на Хо и,

кроме

того, пользуясь

фор ­

м у л а м и

(98)

и (104),

целесообразно

^Fn в

(105)

записать

двумя

способами,

после чего

получим:

+ 00

W = х 0 С П 2

J H n D n e - £ 2

d ç =

1.

(106)

_

оо

П р и н я в

в н а ч а л е

U =

H n ,

a

dv =

Dne~i2âi,

п р о в е д е м

п

р а з

ин­

тегрирование

по

частям .

Все

члены

U v

пропадут,

поскольку

со­

д е р ж а т м н о ж и т е л ь

е - 4

' ,

о б р а щ а ю щ и й с я

в нуль при ± со. В

конце

концов

после

n - кратного

д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я

полинома

H n =

2 n i +

A n

_ 1 ^ n _ 1

+

. . .

п о л у ч и м

ni 2",

а

после

п =

кратного

интегрирования Dne~**d?

п о л у ч и м

е _ Е " и,

таким

образом,

при­

дем к

интегралу

+

00

W

=

x 0 n ! 2 n C „ 2 J e - ^ .

(107)

— 00

+

00

О д н а к о

интеграл

| e~ £ , d £

табличный,

он

равен

У я ,

следова -

тельно,

— оо

_ е»

С п =

1

— ;

=

'

"

"

^

е

*Н„(&).

(108)

У

х0 п!2" У т.

Ѵ х 0 п ! 2 п

У к

В ы ч и с л им

две первые

Ч Ѵ ф у н к ц и и :

l F n

=

1

_ е

2х0 *

Ѵ ч

У л

Функции

Wo

соответствует

согласно

в ы р а ж е н и ю

(102)

с а м а я

низкая

энергия,

и

такое состояние

осциллятора

наиболее

устойчиво,

поэтому

оно

называется

основным,

или

н о р м а л ь н ы м .

Н а рис.

16

и

17 и з о б р а ж е н а

зависимость

плотности

вероятности

пребывания осциллятора в нормальном и возбужденном

состоя­

ниях. Сравним эти г р а ф и к и с аналогичными кривыми

д л я

клас ­

сического

осциллятора .

П р е ж д е

заметим,

что

вероятность

пре­

порциональна времени

прохождения этого отрезка dt, и поэтому

п о л о ж и м d W K J I = —,

где Т — период.

Т а к к а к х = A sin <в t, ѵ = х =

А и

cos

ш t, то dt = — , а плот-

V

ность вероятности (не нормированной

к

единице)

dW

1

dx

(109)

;

äx

1

1

V

! V

/

V

/ \

1

\

/

!

л

/

м

\

/

1

'

\

/

N

\

//

>*^1

\\

/ X

1

0 '

*

А

о\

/4

с2Г

Рис. 16

Рис.

17

единице, находится

в

положении

равновесия

(рис. 16). Если

ж е осциллятор совершает колебания,

то, к а к

видно

из

ф о р м у л ы

равновесия,

а н а и б о л ь ш а я — в

точках возврата

(х = ± А ) , за

которые выйти он не может,

не н а р у ш а я

закона

сохранения

энергии.

В низших энергетических состояниях квантовый

осциллятор

ведет себя

совершенно иначе.

Во-первых,

он не

может иметь

гией,

которая по

формуле

(102)

р а в н а — , поэтому логически

нетрудно

понять,

что

в нормальном состоянии он пребывает не

только в

положении

равновесия,

но и около него (рис. 16). Су­

ществование нулевой

энергии у

осциллятора — эксперименталь ­

но д о к а з а н н ы й

факт . Об

этом

говорит,

например,

рассеяние

света

в

к р и с т а л л а х д а ж е

при температуре,

близкой к

абсолют­

ному

нулю, что м о ж н о объяснить л и ш ь тем, что частицы

крис­

т а л л а ,

которые, как у ж е сказано

в первом

приближении,

всегда

м о ж н о

р а с с м а т р и в а т ь к а к осцилляторы,

сохраняют

при

Т - > 0

нулевые колебания, на которых и рассеиваются световые

фо­

тоны.

В

в о з б у ж д е н н ы х состояниях осциллятор

м о ж е т

проникнуть

в область за точками возврата . Это одно из

проявлений волно­

вой природы микрочастицы . Р а з р е ш е н и е

подобного

«парадокса»

А

О

А

Х

Рис.

18

Н а

рис. 18

и з о б р а ж е н а

функция

д л я классической

час­

тицы

(пунктиром)

и

д л я микрочастицы — при

п = 1 0 .

Если

не

о б р а щ а т ь внимания

на существование нулевых

точек,

то общий

вид функции

распределения

вероятности

при

п - > - о о

все

более

п р и б л и ж а е т с я

к

классической

функции

распределения,

т.

е.

Излучение

осциллятора

З а р я ж е н н ы й осциллятор по

з а к о н а м электродинамики дол­

тор Пойнтинга

S) д л я

классического

осциллятора

51

\ЫЧйС?

г2

^ и и '

З д е с ь

г — расстояние

от

осциллятора

до точки с д а н н ы м

значе­

нием

S;

р =

ех — электрический

момент д и п о л я ;

•О — угол

м е ж д у р

и г.

Если р изменяется периодически, то

частота колебаний ѵ

равна частоте

излучения.

В ы р а ж е н и е

(ПО) послужит отправной

точкой дл я выяснения

некоторых законов излучения

квантового

осциллятора . М ы

при­

меним принцип соответствия

в обратном

направлении: по

клас ­

строгий и редко ведет к цели,

но им не

следует

пренебрегать,

если

он

дает правильный

результат . Н а

з а р е

з а р о ж д е н и я

кван ­

товой

механики, когда не

были

известны многие

ее

принципы,

в руках

таких в ы д а ю щ и х с я ученых, ка к Бор, принцип

соответст­

вия часто помогал

«угадывать»

квантовые законы . Вернемся к

ф о р м у л е

( П О ) . И з

нее видно,

что излучение

в о з м о ж н о

л и ш ь

меваются л и ш ь

средние значения параметров . Значит,

вопрос о

поведении квантового диполя связан с выяснением

х а р а к т е р а

изменения среднего значения х. П о теореме о среднем

Г =

j

<]>*х<]кіх.

( I l l )

В эту

формулу

у ж е

надо

подставлять

полное

в ы р а ж е н и е г|)-

функции, т. е.

1>п = С п

е ' 2 л Т г

V n ( x ) ,

a<|»n* = Cn e"'2 *"î "t

«Fn (x).

С н а ч а л а

оценим х в том случае, когда

осциллятор

находится

в одном из стационарных состояний с фиксированным

значени­

ем энергии

Е п . П о д с т а в л я я

в

ф о р м у л у

(111) г|)п и г^п * и

учиты-

Л

интегралу

вая, что X = X, приходим к

X n n = J 4 V ( x ) d x .

(112)

_

оо

И н т е г р а л

(112)

от времени

не

зависит,

следовательно,

р п п =

= ехщі т а к ж е не зависит от t. Поэтому

p ^ O n S s O :

И т а к , квантовый осциллятор в любом стационарном

состоя­

нии энергию не излучает. Этот вывод противоречит

классиче­

ским

з а к о н а м ,

но надо помнить, что в классической

физике

предполагается

применимость

к

микроосциллятору

принципов

ньютоновой механики,

тогда

ка к в действительности осциллятор