Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

( х )

=

1 / ' — s i

n — х >

En,

i l l

8га й і 2 '

2

.

п2тс

Еп3 —

h2

п 2

2

* ( у )

— s i n — у ,

8 т а 2 2 '

а 2

os

Т а к и м образом, полные собственные функции

и

значения

энер ­

гии

будут

зависеть

от

двух

квантовых чисел

ni

и

п 2 :

По ТС

«"n„ п , ( х , у )

=

і / Г

^ - З І П

( ^ Х sin

аI2

— '

у | ;

8 m Vat 2

1

а 2 2 /

Теперь

предположим,

что

микрочастица

д в и ж е т с я в

некото­

рой области трехмерного пространства и

потенциальная

энер­

гия

частицы

является

функцией

от

трех

переменных

х,

у, г.

Н а

границе

потенциальная

энергия частицы пусть р а в н а

беско­

нечности,

а внутри

области — нулю, т. е.

при

х < 0 ,

при

X >

Я і

!

О < X <

Оі,

)

х < 0 ,

U =

О < у < а 2 ,

U = 0.

У >

а2;

О < z <

а 3

z < 0 ,

z >

а3;

)

В таком случае

говорят,

что

микрочастица

находится

в

«по­

нию

предыдущей

задачи,

собственные

функции

у ж е

будут за­

висеть от

трех квантовых

чисел

п ь

n 2 , п 3 .

Тп„ п„ п3

(х, у, z) = 1 /

— — sin

f ^ x

) sin

f ^ y

) sin

В в ы р а ж е н и е д л я

энергии

т а к ж е

войдут три

квантовых

числа:

Е _

h / " і 2 J "з2

J n3 s

8m V^!2

я 2

2

й з !

М ы

видим, что количество

квантовых

чисел,

от

которых

зави ­

сят

собственные

функции

и собственные

значения

парамет -

ров, равно числу

степеней свободы

микрочастицы .

Этот

вывод

п о д т в е р ж д а е т с я

и

при

решении

других

з а д а ч

квантовой

меха­

ники.

В з а д а ч а х о движении микрочастицы в двухмерной и трех­

мерной

я м а х

может

н а б л ю д а т ь с я

энергетическое

в ы р о ж д е н и е

состояний. Н а п р и м е р , пусть

потенциальный

я щ и к

имеет

куби­

ческую

форму,

тогда

E

=

- ^

K

2

+

n 2

2

+

n32 ).

(72)

Р а с с м о т р и м

три квантовых

состояния.

Первое пусть характе ­

ризуется

набором

квантовых

чисел

Пі =

1,

п 2 = 1 ,

п 3

= 2;

вто­

р о е — набором

П і = 1 ,

гі2 =

2,

п 3 = 1 ;

третье — набором

гц

=

= 2, П2 =

1, пз =

1. И з

ф о р м у л ы (72)

следует,

что

во

всех этих

случаях

энергия

микрочастицы

одна

и

та ж е

(е

=

-~-

-6^'

следовательно, рассмотренные состояния я в л я ю т с я

в ы р о ж д е н ­

ными. С ростом п степень

в ы р о ж д е н и я

увеличивается .

ИОН В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ ЭНЕРГИИ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

С КРИСТАЛЛОМ

Рассмотрим более реальную з а д а ч у о движении

частицы

в

потенциальной

яме .

Допустим,

у

поверхности

кристалла,

которую

м о ж н о

счи­

тать плоской,

о к а з а л с я

ион

с з а р я д а м

q,

под

действием

элек ­

тростатического

поля этого

з а р я д а

в

кристалле

возникнет

за­

р я д - и з о б р а ж е н и е

q',

который

согласно

з а к о н а м

электродинами ­

ки в бесконечной среде, ограниченной плоскостью,

представлен

формулой

q' =

-

^

q .

(73)

е2 + е 1

Здесь

ег — диэлектрическая

проницаемость

к р и с т а л л а ,

еі — диэлектрическая

проницаемость

среды,

где

находит­

ся

ион.

Т а к и м образом, взаимодействие

м е ж д у

ионом

и

кристаллом

в ы р а ж а е т с я

кулоновой

силой

п р и т я ж е н и я

з а р я д о в

q

и q'.

П о ­

тенциальная

энергия

этой системы

U = - S S L ,

( 7 4 )

где во — электрическая

постоянная;

г — расстояние

от

иона

до поверхности к р и с т а л л а

(рис.

11).

* Задача, решенная

H . М. П и с а р е в ы м .

В в ы р а ж е н и я х (79) и

(80)

С п — постоянная нормировки . П о д ­

с т а в л я я X в уравнения

(76),

находим

g =

1

(е2 --. £,)2д*т*

_ а

^ l5!2iilî2±li)Jl!

/gj\

n

n 2

32e0

2 E l 2

(ea

-;- sj)2

h2 '

" ^

я (e2

-

ei) m*qs *

'

i_

Д л я

нормального

состояния

(n =

l )

Q =

a i 2

,

следовательно,

согласно

в ы р а ж е н и я м

(76)

и

(80)

4F1 = 2 a 1 ^ r e ~ « T .

( 8 2 )

П а р а м е т р

а\

соответствует

наивероятнейшему

расстоянию иона

от

поверхности

кристалла .

В

случае

проводника

ег

следует

п р и р а в н я т ь бесконечному

значению,

тогда

Е

п

=

_

- L _ ü l E ! _ .

(83)

Если

ж е

ei =

оо, то

Е п

=

0, это

естественно:

ион

не

м о ж е т

воз­

действовать на

кристалл,

находясь

в

проводнике.

М ы снова

видим,

что

энергия

квантуется, причем легко про­

верить:

если

п - * - о о ,

квантование

не

существенно,

к а к

того и

требует

принцип

соответствия.

Р е з у л ь т а т ы

этой

з а д а ч и

могут

быть

полезными

в теории

с л о ж н ы х

промышленных

растворов,

с о д е р ж а щ и х

макрокристаллические

включения,

ионы и

нейт­

р а л ь н ы е

атомы .

ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ

\

БАРЬЕР

О б щ и е сведения

Если

м е ж д у

д в у м я областями

пространства

существует

мак ­

симум

потенциальной

энергии

Uo,

говорят,

области

разделены

потенциальным

барьером . Н а

рис.

12 и 13 и з о б р а ж е н

одномерный

потенциальный

барьер,

где

U — функция

координаты

х. Р а с ­

смотрим

поведение

классической

частицы,

д в и ж у щ е й с я

вдоль

оси

X . Пусть

эта

частица

д в и ж е т с я

слева

н а п р а в о и ее

п о л н а я

энергия

Е

меньше, чем

U 0

. В

т а к о м

случае

она

не

пройдет

че­

рез

барьер .

Действительно,

чтобы

преодолеть

барьер,

н у ж н о

совершить работу численно р а в н у ю высоте

б а р ь е р а

Uo,

но

ра­

бота

д о л ж н а

совершиться

за

счет

з а т р а т ы

энергии

Е,

которая

по условию меньше Uo. Следовательно,

если

частица

пройдет

через

барьер,

нарушится

закон

сохранения

энергии. Точно

т а к

ж е

легко

показать,

если

энергия

классической частицы

Е >

Uo,

она

обязательно

проникнет

через

барьер .