Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

М и к р о ч а с т и цы ведут

себя иначе. Если

их

энергия

Е

<

Uo,

они с некоторой степенью вероятности

могут

проникать

через

барьер, а если

E > U 0 ,

они имеют ш а н с

о т р а ж а т ь с я

от

него.

Р а с с м о т р и м

в н а ч а л е

прямоугольный

барьер (рис. 13)

. В

этом случае нужно записать уравнение

Ш р е д и н г е р а

д л я

трех

о

а

х

б)

Х = 0

Х

= С(

Рис.

13

областей

I ,

I I и

I I I , а

не д л я всего

пространства . М ы

вынуж ­

дены т а к поступить

потому, что

р е а л ь н у ю плавную кривую за­

менили

абстрактной,

в

которой

две

особые угловые точки де­

л я т

пространство

на

три части,

но и

при т а к о м искусственном

делении

на

Т - ф у н к ц и ю

н а к л а д ы в а ю т с я

естественные

требова ­

ния

однозначности, конечности и

непрерывности, что и позволя ­

ет

получить

физически

р а з у м н ы е

результаты .

И т а к ,

~~7~t +

№

=

0;

^

+ к,»ЧГа =

0;

^

- к3 2 ЧГ3 =

0. (84)

З д е с ь

kj =

к 2 = - ^ - |/2m E

имеет

смысл

волнового числа.

Посто ­

я н н а я

k3

= ~-y~2m(\J0

— Е)

ф о р м а л ь н о

имеет

размерность

волнового

числа, но таковым

не является, та к к а к в области I I I

частица не свободна. Эта

постоянная в в ы р а ж е н и и

(84)

взята

положительной,

поскольку

нас

интересует

случай,

когда

Е

<

<

Uo. З а п и ш е м

общие

решения

всех трех

уравнений:

Ч М х ) = A ^ - ' ^ + B j e ' * ' * ;

Ч72 (х) =

А 2 е ~ 1

к ' х

+ В2 е1 к >х ;

(85)

<F3 (x) = А3е-**

- f

В 3 е к

^ .

К а ж д ы й

член

в

первых двух

решениях

(85)

имеет

простой

фи­

зический

смысл,

а

именно:

они и з о б р а ж а ю т

прямую

и

обрат­

ную

волну.

В самом деле,

если

вспомнить,

что полная

^ - ф у н к ­

ция содержит гармонический множитель ei < u t , то

^ І А

= A 1 e 1 ( m t - k i X )

Эта

волна,

бегущая в

положительном

направлении

по оси, т . е .

к

барьеру,

а

В х =

е 1 ^ - 1 " к а Х )

— о б р а т н а я

волна

(рис.

1 3 а ) .

Функция

Ч^з (х)

не

и з о б р а ж а е т

волну

(нет

мнимой

е д и н и ц ы ) ,

поэтому

к 3

— не

волновое

число.

Решение

Ч^з (х)

дает

п л а в н о

с п а д а ю щ у ю

в

направлении

оси

х

экспоненциальную

кривую .

Пусть

амплитуда A i з а д а н а ,

ее

к в а д р а т

определяет

вероят­

ность

д в и ж е н и я

частицы

(обычно потока

частиц)

к

барьеру:

Ч7ІА I2

= A 1

2 e - i k i X e l k i X

= A t 2 ,

тогда

к в а д р а т

Ві

определяет

веро­

ятность

о т р а ж е н и я

от

барьера,

а Аг — вероятность

проникно­

вения через барьер, что касается Вг, то, поскольку

за

данным

барьером

нет

других,

ее

придется

принять равной

нулю. Оче-

видно,

коэффициент D =

А о 2

дает

нам долю

частиц,

прошед -

—

•Аі2

В 2

ших

через

барьер,

тогда

коэффициент

R =

определяет до-

—

л ю

отраженных .

П е р в ы й из них называется

коэффициентом

прозрачности

барьера,

а

второй — коэффициентом

о т р а ж е н и я .

Вычисление

D

и

R — г л а в н а я цель нашей

задачи . Пр и

Е <

Uo

особенно

в а ж н о

знать D, та к ка к по классическим

з а к о н а м

в

таких

условиях

он

обязательно

равен

нулю,

а

по

квантовым,

к а к

мы

увидим,

нет.

Чтобы

вычислить D

и

R,

надо

с н а ч а л а

найти

В ь

Аг, А 3 , В 3 .

Д л я

этого

требуются

четыре

независи­

мых уравнения, и ими будут условия непрерывности

W (одно­

значность и конечность W обеспечена)

и

ее

первых

производ­

ных на всех границах . Ч т о б ы разнородные функции

(у

нас это

Wi

и

Ч^г, с

одной

стороны, и W3,

с другой)

непрерывно

пере-

х о д и ли друг в друга, их надо «сшить»

на границе . Выполняя

это

требование, получаем

четыре уравнения:

^ i ( 0 )

=

W 8 ( 0 ) ;

W3(a)

=

W2(a);

дх /х=о

дх

\

ох ]х=а

дх

или

в явной

форме

A i + B, - А 3 + В 3 ;

- I k , ( А 1 - В 1 ) = - к з ( А 3 - В 3 ) ;

А 2 е ^ І к ' а = А 3

е - к ' а +

В 3 е^«) .

(86)

— і к і А а е - ^ ' 0

= — к 3 ( А 3 е - ^ я

— В 3 е к ^ ) .

В данной алгебраической системе четыре неизвестных,

которые

легко найти. У м н о ж а я

первое

уравнение (86) на

iki и

вычитая

второе, затем

у м н о ж а я

на iki третье

и

с к л а д ы в а я

его с четвер­

тым, получаем дв а уравнения,

откуда

А 2

=

4ік

к „ р і к ' а е - к з а

А х .

(88)

(к,2

— К 3 2 ) ( е - 2

к з й

+

1) + i2k,k3 ( e " 2 k ° û + 1)

У м н о ж и в

его

на

комплексно

с о п р я ж е н н о е

число,

определим

коэффициент

прозрачности

D

=

I b

k l

к з e

.

(89)

(kx 2 - k 3 2 ) 2 ( е - 2 к з а

- 1 ) 2 : + 4 к 1

2 к 3 2 ( е " 2 Ь з 1 + l ) 2

В !

Т а к ж е м о ж н о

найти

и R = — ,

причем

D +

R = 1 , ка к и

следо*

А х

2

в а л о о ж и д а т ь ,

та к ка к

сумма

вероятностей

о т р а ж е н и я

и про­

никновения

д о л ж н а

равняться

вероятности

п а д а ю щ и х

частиц,

которая,

естественно,

принимается за единицу

= j^ij- Н а

п р а к т и ке обычно

число

e _ 2 k j f l

1 ,

поэтому в ы р а ж е н и е

(89)

м о ж н о упростить,

о т б р а с ы в а я

е ~ 2 к з < г в

знаменателе, тогда

D

=

16Vk3 2 e

- 2 к 3 а

D 0 e

- ^ ^ 2 m ( U 0 - E )

(90)

h

(кх2 - I - к3 *)2

Численное

значение

D 0

почти

всегда очень близко к единице.

Итак,

когда

Е <

U 0 ,

имеется вероятность, хотя

и м а л а я

(чем

больше U 0

— Е,

а,

тем меньше

D ) ,

проникнуть

через

ба­

рьер .

Это

явление получило

название

туннельного

э ф ф е к т а .

Рис.

14

Его

происхождение

невозможно

объяснить в

р а м к а х

классиче ­

ской

физики, тем

не

менее ф а к т

существования э ф ф е к т а дока ­

з а н

экспериментально . Туннельный э ф ф е к т

с л у ж и т

основой

д л я

понимания р я д а

процессов

атомной

и ядерной

физики. Н а ­

пример, р а с п а д

а - р а д и о а к т и в н ы х

ядер

удалось

истолковать

логично

объясняется

явление

холодной

эмиссии

электронов, о

чем

будет

с к а з а н о

д а л ь ш е .

Ф о р м у л у

(90)

легко обобщить, когда профиль плоской кри ­

вой

произвольный

(рис. 14). Тогда его

м о ж н о

разбить на бес­

численное

множество

элементарных прямоугольных

барьеров .

Д о

точки

Хі все элементарные

б а р ь е р ы

«низкие»

д л я

частицы,

имеющей

энергию

Е.

В первом

приближении

м о ж н о

считать,

что

они

не

влияют

на

д в и ж е н и е

частицы (D =

1,

если

х < Х і ) .

ментарным барьером . Чтобы частица п р о ш л а

через

весь

б а р ь ­

ер, она

д о л ж н а

пройти

через элементарные

барьеры,

находя ­

щиеся

м е ж д у точками

хі и хг, а

вероятность такого

события

р а в н а

произведению вероятностей

проникновения

через

к а ж ­

дый бесконечно

тонкий

прямоугольный барьер . Т а к и м

о б р а з о м ,

д л я прозрачности

б а р ь е р а

любой

ф о р м ы

м о ж н о

записать

вы­

р а ж е н и е

-

—

Г V2m.[U(x)

- E ] d x

D = D 0 e

h

J

.

(91)

X l

Кажущаяся

парадоксальность

туннельного

эффекта

П р о х о ж д е н и е

микрочастицы

через

потенциальный

барьер

на первый

в з г л я д

представляет

собой

п а р а д о к с .

О д н а к о

этот

п а р а д о к с неразрешим

только

с точки

зрения

классической

ме­

ханики,

где

считается, что полная

энергия частицы Е в к а ж д ы й

момент

складывается

из

кинетической

и

потенциальной:

E

=

f

+ U ( x , y , z ) .

,

(92)

2m

Н о если

полная

энергия

частицы

меньшее

ее

потенциальной

энергии,

то

к а ж е т с я ,

что

величина

отрицательная,

а

им-

2 т

пульс — м н и м ы й ,

но

это лишено

физического

смысла .

О д н а к о

туннельный

э ф ф е к т — явление

квантовое,

и о б с у ж д а т ь его

нуж ­

но в р а м к а х квантовой

механики.

Ф о р м у л а

(92)

справедлива

только в классической

механике,

т а к к а к в ней предполагается,

энергии,

чего фактически нет. Чем

точнее

известна потенциаль ­

н а я энергия частицы, тем

больше

дисперсия

ее

импульса,

а

следовательно, и кинетической энергии.

Если

частица

о к а ж е т с я

обнаруженной

внутри

барьера,

воз-

/

о

h 2 х

никнет

неопределенность в

и м п у л ь с е ^ Д р 2 >

—

j .

Д л я проникно­

вения

частицы сквозь потенциальный

барьер

необходимо,

что­

бы он был не слишком широким, т. е. чтобы ^ - " j / 2 m

(U — É)a

~

1.

Тогда

2 ~

h 2

~~ 16*2.2m(U— Е)'

Д р ' > 3 2 т г 2 т ( и - Е ) ;

— >

Ібтс2 ( U —

Е ) .

(93)

2m

О т с ю д а

прирост

кинетической энергии,

возникающей

за

счет

волновых

свойств

микрочастицы,

м о ж е т

о к а з а т ь с я

намного