Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

Ze2

ной энергии

взаимодействия

двух

точечных

з а р я д о в U r

=

'

4 я е 0 г

где

Ze

— з а р я д

я д р а ;

е — - з а р я д

электрона .

З а п и ш е м

в

де­

т а л я х

второе

уравнение

(143):

dr2

r

ör

r 2

V da«

1

ô&

sin2 Ь

j

+ § î ! f î l l f E _ | _ _ Z £ L W

=

0.

(144)

cty2

\

4rcs0r

/

З д е с ь

Ч7,- и E r

д л я

краткости

заменены

символами

? и Е .

Уравнение (144) м о ж е т быть решено методом разделения

переменных.

К а к

и

ранее,

п о л о ж и м

W р а в н ы м произведению

сомножителей, я в л я ю щ и х с я функциями

своих

независимых:

г,

т>, (р. Пусть

4 /

=

R (г)

Т

(•&, ф) . Подставим

это

произведение

в

в ы р а ж е н и е

(144)

и,

следуя

обычной

процедуре,

поделим

все

R(r) Г (SV,

<р)

члены

на

— — ,

р а з д е л я я

знаком

равенства

члены,

зави ­

с я щ и е от своих переменных, тогда

r 2 A R R ( r )

8n2 m* г

/ g

,

Ze2

\

Д»,Т Г

(&,у)

R

(r)

h 2

H

1 4 * £ o r

;

г (», ?»

1

;

О п е р а т о р Д г

= | 12

+

2

- ^ ;

4 , = £

2

+ c t g 0 - a

'

'

1 2

Ö S 2

ö r

'

r

dr

дЭ

°

db

sin

& ötf

Т а к

к а к к а ж д а я

часть

в

равенстве

(145)

является

функцией

своих независимых переменных, то обе

они д о л ж н ы

равняться

одной

постоянной

величине,

которую

по

физическим

с о о б р а ж е -

L2 4T:2

ниям

обозначим

через

h 2

-, после

чего

снова

получим

вместо

одного

(145)

дв а

независимых

уравнения:

І

Д

и +

* * : ( Е + £ ) « , „ = ! £

( М 6 )

-

—

W

(

&

, ? ) - L 2 r

(&,?)

= о.

4тс2

Последнее уравнение

(146)

совпадает

с

уравнением

д л я собст-

л

венных функций оператора

к в а д р а т а

момента импульса

І Д

сле­

довательно,

L 2

по смыслу — собственное

значение

этого

операто­

ра . Уравнение

оператора

т а к ж е

решается

методом

разделения

переменных.

П о л о ж и м

Г (&, се) =

Ѳ( &>Ф(9),

подставив

его

в

вы­

р а ж е н и е

(146), р а з д е л и м

все члены

на

• Х

^

и

получим

"г ctS

К

sin2

8-

„.

о <ч Ѳ0!>

,

L-Чт:2 .

, „

Ф " .

, . Л ^ .

sin-,}

H

h 2

sin2 8- =

Ф

(147)

Р а в е н с т во (147) опять - таки удовлетворится

л и ш ь в случае, если

левую и п р а в у ю части приравниваем

к одной и той ж е констан-

те

, после чего

имеем:

ha

дѲ .

,

„ ( 1 9 ,

L 4ît*

L

z 2

4TI

2 N

_

, . . „ ,

2

22

l - c t e »

\-—

Ѳ

Ѳ = 0;

(148)

d8*

°

d»

h 2

s i n 2 » h 2

- Л І ^ . _ и

» Ф = о.

4л2

d<f2

Второе

уравнение

(148) не что иное,

ка к уравнение

дл я собст­

мента импульса на ось z. О б щ е е

решение этого

уравнения

Ф,, =

С с е і т ? .

(149)

Решение, конечно, непрерывно, а дл я того

чтооы оно было

одно­

значным, необходимо m положить целому

числу 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± ...

Д е л о в

том, что однозначность

периодической

функции

выпол­

няется

в пределах

главных

значений

ее

аргумента,

в

нашем

случае

от — я до -f-я, следовательно,

если

к аргументу

функции

Ф прибавить

2я,

4 я и т. д.,

мы д о л ж н ы

получить тождество

e i m c p = e i m ( 9 + 2 i t ) j

н о это выполнимо

лишь при условии, что m — це-

лое число. Подставив формулу

(149) в уравнение дл я Ф

выра­

жения

(148), получим простое

алгебраическое

равенство

m a - ^ - L z a

= 0,

(150)

откуда находим спектр собственных

значений

L z

=

m — ( m =

0, ±

1,

± 2 , . . . ) .

(151)

4л2

Таким

образом,

проекция

L z

квантуется

в единицах

— . Най -

ориентации L z по азимуму

ф в любом из в о з м о ж н ы х направле ­

ний в пределах от — я до +

я равна

единице:

W = С 2

j e^9e~m-t

d ? = i_

— TZ

О т с ю д а

С,, = " р ^ -

Следовательно,

окончательное в ы р а ж е н и е д л я

азимутальной

части функции

атома водорода

ФаЬ) = у~е™*.

(152)

3 Зак. 2807

65

Ч и с ло m называется орбитальным

магнитным числом. М ы бу­

дем его обозначать и символом

гпь дл я противопоставления

лено

их

название .

Теперь

обратимся

к первому

уравнению

(148).

Внесем

туда

1 z из в ы р а ж е н и я

(151), после чего оно примет

вид:

dï)2

f c t g O

d»

l

h '

s i n 2 » /

9

=

0.

(153)

6

v

;

Подстановкой

x =

cosft в уравнение

(153)

получаем

( 1 - х 2 )

— —

2 х — — 4 - 1

Ѳ (х)

=

0.

(154)

1

' dx2

dx

[ V h 2

к

'

m

Решение

будем

искать

в

в и д е Ѳ =

С & ( 1 - — х 2 ) 2 р (х),

где m

надо брат ь л и ш ь

по

модулю,

ибо

если

m

отрицательно,

то

при

х =

± 1 Ѳ принимает

бесконечно

большое

значение.

Подставив

m

Ѳ (х)

в

равенство

(154)

и

разделив

его

на

(1 — х 2 ) 2

,

найдем

(

1 _ х

2 ) Ё ! Е _ 2 ( т + 1 ) х ^

+

(

—

- т

-

т

» ) р

=

0.

(155)

Ѵ

; d x 2

V

'

dx

\

h2

) V

K

'

Представим

P

(x)

в виде многочлена с целыми

положительными

оо

степенями х,

т. е.

р =

2 а > х

' '

i =

0,

1, . . . .

И з

уравнения

(154)

і=0,

i,...

при этом

получаем

00

^ (

1

— х 2 ) і ( і -

l ) a , x ' - 2 — 2 ( m +

1)<Мх'

+

1-0

+ ( ^ - 2 - m - m 2 ) a i x 1 = 0 .

(156)

Алгебраическое

равенство (155)

будет

удовлетворено

тогда,

ког­

да коэффициенты при одинаковых степенях поодиночке

равны

нулю. З а п и ш е м

коэффициент

при

х'

(в

первом

члене

(156)

та­

к а я

степень

получится,

если

у м н о ж и м

х 2

на

а\хх~2

и

единицу

û i + 2 X i + 2 ~ 2 )

и приравняем его к нулю

(і +

2)

(і +

1) а і +

2 -

i (i

-

1 ) a,

- J 2

(m +

1 )

a,\+

+

^ _

m

-

m

» ) a

1

=

0 .

(157)

ß l + 2

— i

( i _ l ) +

2 ( m + l ) i - ( ^ r + m -

о,.

(158)

Полином

р (х)

м о ж е т

оказаться расходящимся,

если в нем

бу­

физической

точки

зрения, поэтому д л я устранения

указанной

расходимости необходимо, чтобы полином о б р ы в а л с я

на

каком -

то

члене. Пусть

это

будет а.^+2Х{%+2,

в таком случае о і & +

2 надо

n i

ö + 2 приравнять

к

нулю, и все коэффициенты с индексом

выше

согласно

в ы р а ж е н и ю (158)

исчезнут

автоматически.

Выполняя

указанное

условие,

получаем

( m - j - i o M m - f

1 » + 1) = Ц £ - \

(159)

Обозначим

m +

is

через

/. Это

число н а з ы в а ю т орбитальным,

битального движения

электрона вокруг ядра . И з

формулы

(159) получаем правило

квантования момента импульса

L = VuJTY)lt

(160)

Р " 2 а

і Х

'

я

в л я е т с

я

решением уравнения

(155),

a

Ѳ =

С»'(1 —

1 = 0

m'

— X 2 ) ' —

р (х) — уравнения (154).

Ф у н к ц и ю ѳ у д о б н о

выразить с

помощью присоединенных полиномов

Л е ж а н д р а

Ѳ і т

= Ç e p l m ' =

C» (1 -

— dl™'

àt

(X2

-

l ) f

(161)

X 2

)

2 d x i n . |

dx,

2,i!

И з

равенства

(161)

следует:

j m |

I,

так

к а к

при

| m |

> /

по­

лучается тривиальное решение Ѳіт = 0. Действительно,

произ­

водная

т - г о

порядка

многочлена

степени

I р а в н а

нулю,

если

I m j > / .

Впрочем,

что

| m j ^

/, легко понять из

физических

со­

ображений .

К в а д р а т

проекции

момента

импульса

L2 . не

может

превосходить

к в а д р а т

полного

момента

L 2 , иначе

говоря,

^

L 2 ,

H o L z = mh,

L = ] / / ( / + 1 )

h, откуда

| т | < / .

Постоянная

3*

67