Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

6..

15,55

15,16

15,01

4 ••

12,70

5 -

п г - т Л -

•о

12,04

ем

оо

о

-о

N-

ч>

l / \

O l

ч-

см

Ультрафиолетовое

Видимое

инфракрасное

излучение

излучение

излучение

Рис. 22

Ф у н к ц ия

R

зависит от двух

квантовых

чисел п и / ,

причем

из

ф о р м у л ы

(172)

видно,

что при

данном п /

не может быть боль­

ше

п — 1 . Действительно,

полином

Л а г е р р а

имеет степень n -4- I,

поэтому

производная

от

него

порядка

21 +

1 отлична

от

нуля,

если 2 / + 1 ^ п

+

/. Отсюда

получается

/ ^ п — 1 . Это ясно

и

из

ф о р м у л ы

(172),

если

учесть,

что м а к с и м а л ь н о е / получается

при

п г =

0.

Постоянная

С г определяется

из

условия

нормировки. Ее

зна ­

чение без

выкладок

Q

=

I f

n(n

- / - !

) !

(173)

\\° -.20

30

0,1

•

О \

5

10

15

20

25

50

? max

S-Состояния

0,2

\2t

0.1

X s

<<

'

I?

•

* * Ч * >

N /s

// .

N

О

5

10

15

20

25

30

р-состояния

0,2

0,1

43

42.

R - ' = W ^ " - 7 -

< 1 7 4 >

П е р в а я

из

них

соответствует

нормальному

состоянию,

т. е. со­

стоянию с наинизшим, значением энергии,

а последующие — воз­

бужденным .

З н а я в ы р а ж е н и е

R, м о ж н о найти

вероятность и

плотность

вероятности

н а х о ж д е н и я

электрона

по

радиусу

w r .

Согласно

ф о р м у л е

(165)

w r

=

Rn r2 ,

например, д л я

нормального

_ 2г

состояния

Wio (г)

= 4 а _ 3

е

а

г2 .

Это

в ы р а ж е н и е

имеет максимум

при

т =

а.

Полученное

значение

г

соответствует

радиусу

пер­

вой

Боровской

орбиты

водородоподобнэго

атома .

Удобно

чис­

ло

а

записать

короче:

а

_

ephaiQio

_

а 0

=

05 . 3Â

(

1 ? 5 )

Z u e 2 m *

Z

Z

В

равенстве (175)

а0

=

£ ° h 2 1 °

°

, гдеео = 8,854 • Ю - 1

2

а • сек/в

• м;

я е 2 т 0

h

=

6,62

•

Ю - 3 4

дж

•

сек;

е

=

1,602

•

10"1 9

а

•

сек;

т 0

=

=

9,101

• 10~3 1

кг.

Постоянная

а 0 — одна

из в а ж н ы х

констант

атомной физики, она р а в н а радиусу первой Боровской

орбиты

атома

вородора .

П о л н а я

плотность

вероятности

зависит от

ра ­

диуса

и

от

угла

Ф. Только в

нормальном состоянии

вероятность

не

зависит

от

углов, т . е . сферически симметрична

(см. рис. 21).

С а м о й примечательной особенностью зависимости

w от г яв­

ляется

то

обстоятельство,

что

она

принимает

м а к с и м а л ь н ы е

ветствуют

п а р а м е т р а м

Боровских орбит

не

только

в

нормаль ­

ном, но

и

в других состояниях. Н а п р и м е р ,

из

второй

и третьей

ф о р м у л

(174) следует,

что w 2 ; — " м а к с ,

когда

г =

2а

(рис. 23).

ѴпЛ.тДГ, » , ? ) - [ /

я п < а 3 [ ( п + / ) ! ] , ( / + | ш 1 ) |

^ Ы г

(176)

Согласно формуле (176) состояние атомов определяется

набо­

ром

квантовых

чисел п, /, m r , причем

n = 1, 2, 3,

оо; 1 = 0,

1, 2;

n — 1; іпг =

0,

± 1 , + 2 ,

-±_1. Пр и

заданном /

число

раз ­

личных

состояний

зависит

от набора

различных

mi и

равно

2/-J-1-

С другой

стороны,

при заданном n возможны

различ ­

ные состояния

по / и m/, отсюда

полное

число состояний

опре­

деляется законом арифметической

прогрессии

N =

^

(21 +

1) =

- { 1 +

[ 2 ( : +

1

) 1 і " =

n 2 .

(177)

о

М е ж д у

тем из

ф о р м у л ы

(171)

следует,

что энергия

атома за­

висит

л и ш ь от

главного

квантового числа п.

Таким

образом,

одному

значению

энергии

с фиксированным

п соответствует п 2

мального,

в ы р о ж д е н ы .

Понятие

в ы р о ж д е н и я

неизвестно в

классической физике. О д н а к о установление

ф а к т а

в ы р о ж д е н и я

или отсутствие такового весьма существенно

дл я

правильного

истолкования

многих физических явлений.

Излучение атома

водорода

Ч т о б ы

решить этот вопрос, как и

в

случае

осциллятора, ис*

следуем

временную

зависимость

среднего

дипольного

момен­

та

атома

в стационарных

состояниях

и при переходе из какого -

либо состояния

п,

/,

т г в

состояние

п',

т ' ь П о л н а я

^ - ф у н к ­

ция

в т а к о м

случае

представляется

линейной

суперпозицией

ty-функций

конечных

состояний:

і 2 7 С Е

t

і — Е

' t

ф = С і е

ь" almi

Umi{x, О, 9) + C2 e

ь

п'Гт<

% ,

ѵ ш

( r ,

»,

?

) .

Дипольный

момент

атома

равен

er, aero среднее

значение

р =

= е J ^r^*dV . П о д с т а в л я я

сюда \|), получаем

V

Р =

Р і + ~ Р 2

+"рз = С х

2 j < & m i r d V +

С 2 2 j

< | & Г т ; rdV

+

+

COS

2тг

(178)

А п г т / п . Г

т ; =2CtCi^almitfn4>m'l

rdVdr.

Первые дв а члена

в

в ы р а ж е н и и

(178)

определяют

средние ди-

. польные

моменты

в

стационарных

состояниях,

они

не

з а в и -

,

_

Е п ( ш , — En'/'m;

("ITCH

»n/imn'f'm,

—

-—;

\ 1 ' V)

1

i

h

онарного состояния в другое атом излучает или поглощает

энер­

гию с

частотой, определяемой

законом

(17).

Нетрудно

заметить полное

совпадение

выведенных

условий

излучения

с

постулатами

Бора .

Собственно

говоря,

постулаты

Б о р а

в

квантовой

механике — не

постулаты,

а следствия,

полу­

ченные

путем

последовательного

применения

ее

основополага ­

ю щ и х принципов. Вернемся к

в ы р а ж е н и я м

(178)

и

(179). Хо­

тя из

них

и в ы т е к а е т

в о з м о ж н о с т ь

излучения

атомом

при

пере ­

ходах

из

одного

энергетического

состояния

в другое,

'но при

этом надо еще выяснить, какие переходы

в о з м о ж н ы ,

а

какие

нет. К а к

и в

случае

осциллятора,

дл я

этого

требуется

вычис­

лить все матричные элементы

A n

; m

/ n ' / ' m

j .

В результате про­

деланных

расчетов

(см.,

например,

книгу

Блохинцева

«Основы

квантовой

механики»)

были найдены п р а в и л а

отбора

дл я кван­

товых

чисел,

лимитирующие

в о з м о ж н ы е

переходы выполнени­

ем условий:

А/ =

± 1 ;

Д т , =

0 + 1 .

*

(180)

величину. Если

атомы находятся

в

вырожденнном

состоянии,

полученные

ограничения

(180)

излишни,

так как энергия

при

этом зависит

л и ш ь

от главного квантового числа,

к тому ж е

п р а в и л о частот

(179) дл я

в ы р о ж д е н н ы х

состояний

в ы р а ж а е т с я

проще:

Vnn' = E

" ~ E n '

•

(181)

h

Сопоставляя закон (181) с принципом

Р и т ц а - Р и д б е р г а ,

кото­

рый определяет

те

ж е частоты

через

термы Т,

V =

сТп' — с Т п ,

где

Т п

=

— ,

Тп' =

n

n '2