Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

С» в

в ы р а ж е н и и

(161)

находится

из условия

нормировки .

При ­

водим ее

без

в ы к л а д о к

c , =

| / J L N ) i m .

( і 6 2 )

V

2(/+|m|)l

V

;

З н а я

Ѳ(щ

и Ф т ,

запишем

общее

в ы р а ж е н и е

угловой

части W-

функции

атома

водорода

Г,™ =

1/

( /

~

|

m | )

! ( - ^

i y

( X ) е""*

(163

(/ = 0 , 1 , 2 , . . . ;

m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) .

П о л ь з у я с ь равенством

(163),

приведем

первые четыре

функции

ТИП:

г ° о = Н й ;

Г і ° =

i / " £ c o s , < > ;

Г і і

± * = і / £ s i n ô e

± i ? - ( 1 6 4 )

Выясним картину углового распределения плотности

вероятно­

сти.

П о л н а я

вероятность

н а х о ж д е н и я

электрона в

элементе,

объема dV =

г sin •& drd •& d ф

d W

= R 2 ( r ) r 2 d r r ; m

ï ; m s i n & d ' | j d ? = d W r d W ô , ¥ .

(165)

w

( » ,

<р) = РГ!)2

sin2

(166)

О к а з ы в а е т с я , w

(ф, <р)

не

зависит

от азимутальной

координаты

ф. Н а

рис. 20

д а н ы

графические

представления w

(•ö, ф) д л я

первых

Тан-функций.

Все

они представляют фигуры

в р а щ е н и я

Л

Л

является

собственной функцией

не

только

оператора

L 2 , но

L 2 Z

д

Это легко понять, если учесть, что

оператор L z 2

= — h - ^ ,

т. е.

сводится

к д и ф ф е р е н ц и р о в а н и ю

л и ш ь по

азимуту

ф.

Поэтому

после, подстановки Y / m г = Ѳ г т Ф т

в

уравнение

(148)

функция

ные

значения операторов L 2

и L 2 одновременно

измеримы к а к

Л

\

Л

угодно точно. В

то

ж е время

операторы

L x ,

L y ,

L z

не

коммути­

руют м е ж д у собой,

поэтому

д л я

данных

значений

L и

L z ,

L x и

Ly

могут быть

произвольными

(однако

при

условии,

чтобы

будет прецессировать вокруг z. Возникает вопрос, почему

имен­

но ось z

о к а з а л а с ь

в

особом

положении, а

не

оси х и у. Строго

говоря,

решение д л я

угловой

Т г т - ф у н к ц и и

приводит л и ш ь

к за­

ключению

о квантовании полного

момента

и одной из

трех

проекций

момента

импульса.

Тот

факт, что

к в а н т о в а н н а я

про­

о состоянии атома

в магнитном поле — о д н а

из актуальных,

при­

чем весьма существенную роль в

ней играет орбитальное

маг­

нитное число m;.

О б р а т и м с я

теперь

к тому

уравнению

Шрёдингера

(146), ко­

торое содержит

р а д и а л ь н у ю

часть ^Р-функции R ( r ) .

П о д с т а в и в

в него значение

L 2

из в ы р а ж е н и я

(160),

получим

d 2 ^

2

^

8 ^ /

^

d r s

г

dr

1

h 2

V

4iE0 rj

г2

'

Введем

новую

функцию

R =

и

переменную

р = —,

где

а = — — — .

р

а

З а т е м

введем

пока

неопределенное

безразмерное

Zue2m*

число п, через

которое мы

будем

искать

энергию согласно

соот-

1

h 2

ношению

Е п =

=

.

Такой

выбор

гарантирует л и ш ь

п 2

8 л » т * а

нас в

этой

з а д а ч е

не

интересует.

Выполнив все у к а з а н н ы е

под­

становки, придем к

уравнению

Ці-П

d 2 v

,

1

,

1

0.

(168)

d p 2 " ^

4n 2

p

p2

Теперь

легко найти предельные

решения

уравнения

(168).

Если

р - * - 0,

то

члены

и

— будут

много

меньше члена

——1—- ,

4 п 2

р

р а

поэтому

— - ~

и — м о ж н о

отбросить,

и

тогда получим

V (р)

=

= р ' + 1 . Если

ж е

р - э - оо,

м о ж н о опустить

дв а последних

члена

в

скобках,

тогда

ѵ (р) =

е

2 п

(е

2 п

неприемлемо, ибо

оно

расхо-

дится

при р - > о о ) .

У к а з а н н ы е

предельные решения

позволяют

п р е д у г а д а т ь

общий вид

полного

решения . Б у д е м искать

ѵ (р)

в виде

произведения С г е

2 х

Р п

, г д е Р п — п о л и н о м вида ?1+1

2

bkp\

k=o, I , . . .

k =

0,

1,

2,

....

Подставим

это

в ы р а ж е н и е в

равенство

(168),

приравняем

коэффициенты

при

одной и той

ж е

степени

р, после чего получим

рекурентную форму дл я Ьк .'

— (к +

/ +

1) — I

Ь к +

1

=

-

I +

Ь я .

(169)

к +

1

[(к + / +

г ) ( к +

1)

-

ці + \)\

ѵ