Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

мы получим теоретическое

в ы р а ж е н и е

д л я

термов и

д л я

посто­

янной

Р и д б е р г а :

Т п =

- ^ ;

R = - - i ^ 2 -

= R 0

O — L _

; R

84WC

(182)

n

he

Z2 hC

mo '

0

0

M

В р а с ш и ф р о в к е

равенств

(182)

использовано

в ы р а ж е н и е

энер­

гии (171). Теоретическое значение R», вычисленное через атом­

ные константы е-е,

т0, h и С, очень

хорошо

совпадает с

экспе­

риментальным .

Поправочный

коэффициент

~

играет

су-

щественную роль в анализе спектров - водородоподобных

ионов

одного и того ж е

элемента, состоящего из различных изотопов. В

таких

случаях

R

будут несколько

различными, например,

R H =

= 1,0967755 • 107

м - 1 , a

R«, =

1,0970742 • 107

м~\

вследствие

чего

спектральные

линии

изотопов

о к а ж у т с я

расщепленными

на несколько

компонент,

к а ж д а я

из

которых

п р и н а д л е ж и т

со­

ответствующему

изотопу.

И

д л я

этого

э ф ф е к т а

расчетные

дан­

ные хорошо согласуются

с экспериментальными .

Величину

рас­

опытным путем

с

помощью

формул (181)

и

(182),

м о ж н о

ис­

пользовать

д л я

расчета

массы

неизвестных

изотопов.

Т а к и

были

открыты некоторые

изотопы. Н а

рис.

22 графически пред­

ставлены энергетические

уровни

атома

водорода и

спектраль ­

ные

серии

Л а й м а н а , Б о л ь м е р а ,

П а ш е н а ,

Б р э к к е т а ,

П ф у н д а ,

Хэмфри .

Расчет

энергетических

уровней производится

по

ф о р м у л е

с

Z213,6

е 4 т э

1

0 „

/ ю о \

Е п —

— Эв,

-

=

13,6

Эв.

(183)

n2

8 s 0 a h » l , 6 1 -10-15

v

;

П о л ь з у я с ь

этой

формулой,

легко

получить

энергию

ионизации,

т. е. минимальную энергию, необходимую д л я того,

чтобы

уда ­

лить

электрон из

атома,

иначе говоря, перевести из нормаль ­

ного

состояния

в

свободное

Е п =

— Ei =

z2

13,6

эв

энергии

возбуждения, например

E J 2

= Е 2 — Е! = -

z2

13,6

эв,

и

соответ­

Орбитальный

магнитный

момент

В е р н е м ся

на

время к

Боровской

модели

атома

водорода .

Электрон

в р а щ а е т с я

вокруг

я д р а и

создает

орбитальный

ток

I

V

V

' о = е — ,

где

частота

вращения,

ѵ — скорость, г — ра-

диус

вращения .

Магнитный

момент

орбитального тока

Pt = I0 S — ™ .

С р а в н и в а я

это

в ы р а ж е н и е

с классическим

в ы р а ж е н и е м

ме­

ханического орбитального

момента

электрона

L =

m0 vr,

най­

дем

связь

.между

Р/ и

L:

P , =

- ^ - L .

(184)

мо пропорционал-ен орбитальному механическому

моменту.

Коэффициент пропорциональности

g; =

-^— называется гиро-

2 т 0

магнитным отношением. С точки

зрения

квантовой

механики

зрительный х а р а к т е р , имеющий л и ш ь

отдаленное

отношение к

реальности. Тем

не менее

квантовомеханическая

теория

при­

водит к

тому

ж е с а м о м у

соотношению м е ж д у

Р/ и L

(184),

поэтому в

нашем

элементарном пособии мы ее опустим, перей­

дя сразу

к

а н а л и з у в ы р а ж е н и я (184).

Поскольку

L

квантуется,

следовательно, Р;

т а к ж е

кванту­

ется:

ZITIQ

Zlt

ZIHJ

Особенно

в а ж н о

квантование

проекции

магнитного

момента,

ибо

ственно

практики

да и

теоретики

под магнитным моментом

п о д р а з у м е в а ю т

проекцию P;z . Во

и з б е ж а н и е

недоразумений

это надо иметь в виду.

И з ф о р м у л ы

(185)

получается

в ы р а ж е н и е

своеобразного

кванта

магнитного момента

электрона:

р-в = - ^ — =

9,2732 • 10~2 4 дж.

(186)

4itm0

(Лв называется

атомным

магнетоном

Б о р а .

Сопоставляя

ра ­

венства

(185)

и

(186),

з а к л ю ч а е м :

проекция

магнитного

мо­

мента на ось

принимает

л и ш ь целые

значения

магнетонов

Бо -

экспериментально .

П е р в ы м и

т а к у ю попытку

предприняли

уче­

ные

Штерн

и

Герлах . И д е я

их

опыта

очень

проста. Узкий пу­

чок

атомов

в

состоянии

с з а д а н н ы м

I н а п р а в л я ю т

в

неодно­

родное

магнитное

поле,

направленное

по

оси

г.

Если

атомы

о б л а д а ю т

магнитным

моментом,

то

на

них

действует

сила

t

А

f = — P . c o s

(В, Р) — —

Р . . П о классическим

з а к о н а м ,

среди

ко-

dz

dz

лоссального

количества

атомов

в пучке одинаково часто

встреча­

ются как положительные, т а к и отрицательные

P;z , причем

набор

абсолютных

значений Р& образует сплошной спектр,

поэтому,

когда

атомы

пройдут

неоднородное поле

и

попадут

на

экран

индикатора

(в случае ионов индикатором может быть люмино ­

фор

или

ф о т о п л е н к а ) ,

они создадут диффузное,

т. е.

размытое

пятно.

И н а я

картина

о ж и д а л а с ь

при

условии

справедливости

квантовых

законов. К а к

мы

знаем, PZ z

=

гп(цв,

поэтому

,

dB

следовательно,

сила

т о ж е квантуется,

і =

Ш: — р в ,

dz

Пусть

/ = 1

(р — состояние),

в

таком

случае

m;

принимает

значения

0,

+ 1 , — 1 . Значит,

орбитальный

и магнитный

момен­

ты имеют

только

три

проекции.

О т к л о н я ю щ а я

сила

f

т а к ж е

принимает только

три

значения

„

dB

dB

и

на

экране

0;

ц в — }

— У-ъ—,

dz

dz

индикатора

д о л ж н ы образоваться

три

следа.

Опыт

качествен­

но и количественно подтвердил эти расчеты,

следовательно,

квантование

механического

и

магнитного

моментов — бесспор­

ный

факт. М е ж д у

прочим

эти

опыты позволили

сделать

выбор

м е ж д у ф о р м у л а м и

момента

импульса

в

элементарной

теории

Б о р а и квантовой теории. К а к

известно, по Б о р у

L =

mvr

=

n

где

n =

1,2,3..., а

по квантовой

теории

L =

— 1 / / ( / - | - 1 ) .

Опыт

подтвердил

квантовую

формулу .

Впрочем

п~-

= у~щЦГ\у

~2~'

если

/ >

1.

СПИН ЭЛЕКТРОНА

В 1925 г. Уленбек и

Гаудсмит

д л я

объяснения

некоторых

тонких

деталей

спектров,

не

п р е д с к а з ы в а е м ы х

известной - тогда

квантовой

теорией,

выдвинули

гипотезу

о

существовании

элек­

п р е д с т а в л я л о сь

так,

как если бы

электрон действительно

вра ­

щ а л с я

вокруг

собственной оси,

но такое модельное представ ­

ление

спина имеет еще

меньше почвы под собой, чем объяснение

орбитального

момента

орбитальным

вращением,

и

приво­

дится

л и ш ь д л я образности. Истинная

причина

спина

указыва ­

ется

в

релятивистской

квантовой

механике Д и р а к о м . В

р а м к а х

ж е

нерелятивистской

механики

представление

о спине

и

его

Рис. 24

свойствах

есть

гипотезы,

значение

которых

м о ж н о

уяснить

л и ш ь

из эксперимента.

К а к

только з а р о д и л а с ь эта

гипотеза,

было высказано предположение о том,

что

механический

мо­

мент спина S и его проекции Sz квантуются

аналогично

орби­

тальному

моменту:

S

=

l ^ / s ( 4 +

1 ) ^ - ;

Sz

=

m s - ! b

(187)

Р а з в и в а я

аналогию

м е ж д у спиновым

и

орбитальным

момента­

ми,

полное

число

проекций

спина

п о л а г а ю т равным

24 + 1

и в соответствии

с

экспериментальными

данными

приравнива ­

ют это в ы р а ж е н и е только

к двум . Отсюда

l , = \ \

m s = ± / s =

+ ~

(188)

З а т е м предположили,

что

магнитный

момент

спина

P s

прямо

пропорционален

механическому,

т. е.

приняли

P s =

g s

• S,

где

g 8 — гиромагнитное

отношение

спина.

Справедливость

этого

утверждения

была

д о к а з а н а

д а ж е

раньше появления

гипотезы

о спине в

известном

опыте

Эйнштейна - Гааза .

Они

нашли

зна-