Файл: Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие].pdf

чение

g s

=

— = 2 g L .

Разумеется,

интерпретация

числа

g s

при-

ш л а

позже . Учитывая

величину

gs .

получаем:

Ps

=

-

VU

( 4 + 1 )

~

=

2^в / / . ( / , +

1);

т 0

2 л

P , z = - m 8

^ - = ±

JIB.

(189)

Таким

образом,

магнитный момент электрона может иметь лишь

две противоположно направленные проекции, численно

равные

магнетону

Бора . Д л я

проверки

свойств

спина

Штерн

и

Герлах

осуществили

следующий опыт.

Узкий

луч

атомов

водорода

в

S-состоянии

(современная

техника умеет

сортировать

атомы по

состояниям),

когда

орбитальный

момент

заведомо

отсутству­

ет, а

имеется

предположительно

л и ш ь

спиновый,

н а п р а в л я л с я

в неоднородное магнитное поле и затем фиксировался

индика­

тором. Н а

экране

индикатора

о б р а з о в а л и с ь

два

следа

атомов

(рис.

24).

Р е з у л ь т а т ы

опыта

и

их

математическая

обработка

полностью

подтвердили

существование

спина и всех его свойств.

С

учетом

спина

электрону

следует

приписать

четыре

степе­

ни свободы. Три из них с в я з а н ы с пространственными

коорди­

натами

и

в ы р а ж а ю т с я

квантовыми

числами

п,

/,

т г

,

четвер­

тая — внутренняя

степень

свободы — обычно

представляется

спиновым магнитным числом m s .

Эти

числа

могут

принимать

строго

определенные

значения,

часть

из

них

(в

том

числе

и

спин)

подчиняется

п р а в и л а м

отбора.

Проведем

сводку

этих

правил:

IU =

1,2,

3,

. . .,

+

да;

/

= 0,

1

n — 1;

m,

=

0,

± 1

,

±

/;

(190)

Д / = ± 1 ;

Д т , = 0, ± 1 ;

Д т 3

= 0.

И з в ы р а ж е н и я

(190)

легко

видеть,

что

полное

число

состояний

при

заданном

n

теперь

у ж е

равно

не

n2 ,

а

2п 2 .

Н а л и ч и е

спина

д о л ж н о

найти

свое

отражение

и

в

^ - ф у н к ц и и

состояния.

Общий вид і|)-функции

м о ж н о

уяснить

из

следую­

щих

соображений .

Поскольку

спин

является

четвертой

степе­

нью свободы, т. е. четвертой независимой координатой

(внут­

реннего

д в и ж е н и я ) ,

а

вероятность

независимых

событий

вьь

р а ж а е т с я

произведением

вероятностей

и

поскольку

вероят­

ность

состояния

системы

по

Борну

пропорциональна

І ^ І 2 ,

то

в полной г|)-функции спиновая

«доля»

д о л ж н а

быть

представ ­

лена сомножителем

tyn,l,ml,ms

= %,l,ml-tyms-

(191)

Конкретное в ы р а ж е н и е сомножителей

здесь

зависит

от

физи­

ческой

системы.

АТОМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

НОРМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА

К а к мы установили, атомы

о б л а д а ю т орбитальным

и спи­

новым

магнитными моментами,

величина которых определяется

внутренней структурой и не

зависит

от внешнего

магнитно­

го поля, поэтому их называю т

иногда

жесткими, или не

инду­

цированными . Во внешнем поле

моменты определенным

обра ­

полнительную

энергию

Ев,

которая

по закону

и

классической

и квантовой электродинамики

равна

•—(р • В ) .

Если

поле

на­

правлено

по оси z,

E B = = P Z B ,

где Pz

= P;z +

Psz-

С

учетом

этой

поправки

энергия атома

в магнитном поле Е п , г,т

;, ms = Е п

+ Ев,

следовательно,

если В ф О, полная

энергия зависит

от

всех

квантовых

чисел и

к а ж д о й

Tnzmj mä

-функции

будет

соответство­

вать свое значение энергии. Таким

образом,

внешнее

магнит­

ное

поле

снимает

вырождение .

Это ж е справедливо

и дл я

других полей.

Снятие

вырождения

м о ж е т быть и частичным,

когда

сохраняется

независимость

энергии

от какого-то

кван­

спиновый

и

орбитальный

моменты

много больше,

чем их вза ­

имодействие

м е ж д у

собой

(напомним,

что моменты

являютс я

источниками

магнитных

полей),

в

таком случае

спин

и

орби­

тальный

момент внесут

в Ев независимые

вклад ы

тг(івВ и

—2ms p,BB.

В последнем

выражени и

двойка появилась

из-за

того,

что Psz

д о л ж н а равняться

± ( і в . Этот коэффициент

назы ­

вают

фактором

Л а н д е

дл я спина;

дл я

орбитального

момента

он равен

единице.

Учитывая

добавочные

вклады,

запишем

полную

энергию

атома

в

сильном

магнитном

поле

Enta / m s

=

E n — ( m , - f 2 m s ) | x B B .

(192)

Теперь

можн о

найти

и

частоты

излучения

при

переходах из

одного

состояния

в другое

ѵ

=

EnziEjn _

<A m ' + 2 A m *>

|хв В =

ѵ 0 _ Д Ш

| .

(193)

n

h

h

З д е сь vo — та

или

иная

частота

излучения

в

отсутствие

поля

(В =

0) .

Член

Д т г

^ ^ -

в

соответствии

с

правилом

отбора

д л я

h

m; может принимать одно из трех значений: 0;

+

^ j J l , причем

величина

h

=

vL

называется

частотой

Л а р м о р а .

Этот

англий-

ский

ученый

объяснил

ее

происхождение

в

классической

элек­

тродинамике

к а к результат прецессии электронов

вокруг

поля

под действием силы Лоренца .

П р а в д а ,

его

в ы р а ж е н и е

дл я

vL

=

еВ

„

4тст0

не

могло

с о д е р ж а т ь

постоянной

П л а н к а ,

поскольку

тогда

механика

была

еще

неизвестна, однако

подставив

в

квантовая

^-5- величину

магнетона

Б о р а

- ^ — ,

легко

убедиться

в

экви-

h

4r.m0

валентности обоих выражений . Что

ж е касается

члена 2

А т

*

[хв В

h

в

выражени и

(193),

то

он

исчез

б л а г о д а р я

действию

правила

отбора

дл я спина

Àm 3

=

0.

П р и н и м а я

во

внимание

все

изло­

женное,

перепишем

равенство

(193)

еще

раз

+

VL

0

(194)

— v L .

Если

эти

расчеты

верны,

то

при

исследовании

атомных

спек­

тров

в

сильном

магнитном

поле

мы

д о л ж н ы

о б н а р у ж и т ь

в

3 р а з а больше линий, чем их было при отсутствии

поля. Ч а с т ь

линий д о л ж н а

иметь прежние

частоты

ѵо

(т. е. те,

которые бы­

ли

в

спектре

при

В =

0),

а

другая

часть — частоты,

смещенные

на

величину

поправки

Л а р м о р а :

ѵ і = ѵ о +

ѵ і/

и

ѵг =

Ѵо— L-

Обычно

смещения невелики,

и

н а б л ю д а е м а я

картина

выглядит

так: при

включении

поля

рядом

с

несмещенными

линиями

по

обе

стороны

появляется

пар а

смещенных,

т. е.

образуется

триплет.

Н а

рис.

25 и з о б р а ж е н а

картина

образовани я

трипле­

та

при

переходах

с

уровней

2s

на

уровень

Is.

Описанное

явление

впервые

н а б л ю д а л

в

1896 г. голландский

ученый

Зееман,

п о з ж е оно было названо нормальны м

эффек ­

том

Зеемана .

Теоретическое

объяснение

в р а м к а х

классической

электродинамики

д а л Лоренц,

и, к а к

мы

только

что

убедились,

эффект,

естественно,

объясняется

и

в

квантовой

механике.

Иначе

обсотит

дело

с

так н а з ы в а е м ы м

аномальным

эффектом

З е е м а н а .

Таковой

наблюдается

в

слабом

магнитном

поле,

ког­

да

его

влияние

сравнимо

со

спин-орбитальным

взаимодейст-

множественнее, чем в сильном поле; классическая

физика у ж е

не могла

ее

объяснить. К в а н т о в а я

теория

и здесь

о к а з а л а с ь на

высоте:

все

детали аномального

э ф ф е к т а

З е е м а н а получили

исчерпывающее объяснение (см.

дополнительную

л и т е р а т у р у ) .

Ms'-]}

\

mt=-i

" 7

2

Рис.

25

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ВОЗМУЩЕНИЙ

Решение

уравнения Шредингера в конечном

виде

может

быть

найдено л и ш ь в сравнительно небольшом числе простей­

ших

случаев.

Большинство з а д а ч

приводит к слишком

слож ­

ным

уравнениям, которые не могут

быть решены

точно.

Поэто­

шения. Одним из них

является метод возмущений,

заимство­

ванный из астрономии

и

развитый

в квантовой механике.

Рассмотрим основные

аспекты

теории

возмущений, когда

отсутствует вырождение .

Предварительно

д о к а ж е м

следующую

гональную

систему.

Пусть Wt и x Fk — л ю б а я

пара

собствен­

ных функций оператора Гамильтона .

Обе они удовлетворяют

амплитудному уравнению

Шредингера:

Л

ВД;

HWk

= EkWk.

(195)

Hl F|

Собственные значения энергии

по условию н е р а в н ы

(ЕіФЕ^).

У м н о ж и м

первое

уравнение на

второе — на

Т І ,

вычтем

второе из

первого

и

проинтегрируем

по всему

объему:

/

( « y W , -

Wim\)

dV = (Е, — E k )

J %VkUV.

(196)

В силу

условия Эрмита левый

интеграл в

в ы р а ж е н и и

(196)

равен нулю, поэтому равен

нулю

и

правый

интеграл, посколь­

ку

Еі ф

Е к :

(197)

Это

и

есть

условие

ортогональности

(понятие заимствовано из

векторной

алгебры,

- >

- >

где ортогональность векторов а и

b выра-

—> —>

ж а е т с я

равенством

а - Ь =

0) . Условие ортогональности

м о ж н о

использовать

символ

Кронекера

ôit,

который имеет два значе­

ния: 0, если

і ф к, и

1, если

і =

к.

Сочетание обоих

условий

н а з ы в а ю т ортонормировкой и

записывают следующим

образом:

(198)

заданной непрерывной

функции в виде р я д а Фурье по другим,

к а к

правило,

известным

функциям,

но

такое

представление

возможно л и ш ь в том

случае, если функции, по которым

дает­

ся

р а з л о ж е н и е

в

ряд,

удовлетворяют

условию

ортонормировки .

В

математике

известно много

функций,

удовлетворяющих

это­

му требованию, простейшие из них тригонометрические

функ­

ции

косинус

и

синус,

цилиндрические

функции

Бесселя,

шаро ­

вые

функции

Л е ж а н д р а ,

полиномы

Ч е б ы ш е в а - Э р м и т а

и

т. д.

К

ним

ж е ,

следовательно,

относятся

и все "Ч^-функции

невы­

рожденных

состояний.

В том случае, когда состояния

в ы р о ж ­

дены,

вышеизложенное

доказательство

ортогональности

поте­

ряет

силу, так

как

если

Е І =

E K ,

то

п р а в а я

часть

в ы р а ж е н и я

(195)

р а в н а

нулю,

б л а г о д а р я

исчезновению

члена

в

скобках,

т. е.

( Е І — Ek),

и

вопрос

о значении

Ч^Ч^аѴ

остается

от­

крытым . К а к

правило,

^ - ф у н к ц и и вырожденных

состояний

не

ортогональны,

но,

пользуясь

принципом

суперпозции,

из

не­

ортогональных

^ - ф у н к ц и й

всегда м о ж н о составить

линейные

комбинации, удовлетворяющие условию ортонормировки .

А те­

перь

кратко

и з л о ж и м

суть

метода

возмущений.